数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 積分の性質(ヘルダーの不等式(Hölder's inequality)、シュヴァルツの不等式(Schwarz inequality))

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.2(積分の性質)、問題1、2、3、4.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}U\left(P,f\right)-L\left(P,f\right)<\frac{ϵ}{c}\\ c\left(U\left(P,f\right)-L\left(P,f\right)\right)<ϵ\\ cU\left(P,f\right)-cL\left(P,f\right)<ϵ\\ U\left(P,cf\right)-L\left(P,cf\right)<ϵ\end{array}$

   よって$cf$は積分可能である。

   $\begin{array}{l}c{\displaystyle {\int }_a^{b}f}-ϵ\\ <cL\left(P,f\right)\\ =L\left(P,cf\right)\\ \le {\displaystyle {\int }_a^{b}cf}\\ \le U\left(P,cf\right)\\ =cU\left(P,f\right)\\ <c{\displaystyle {\int }_a^{b}f}+ϵ\end{array}$

   よって等式は成り立つ。

2. 
   

   積分可能であるとはいえない。以下反例。

   $\begin{array}{l}0\le x\le 1\\ f\left(x\right)=1\left(x=\frac{n}{m}\right)\\ f\left(x\right)=-1\left(x\ne \frac{n}{m}\right)\\ \left|f\left(x\right)\right|=1\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_a^{b}fg}\\ \le {\displaystyle {\int }_a^b\left(\frac{f^p}{p}+\frac{g^q}{q}\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_a^b\frac{f^p}{p}+}{\displaystyle {\int }_a^b\frac{g^q}{q}}\\ =\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_a^b{f}^p+\frac{1}{q}{\displaystyle {\int }_a^b{g}^q}}\\ =\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\ =1\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}{f}_1=\frac{\left|f\right|}{{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}}\\ g_1=\frac{\left|g\right|}{{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\right|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}}\\ {\displaystyle {\int }_a^b{\left|f_1\right|}^p={\displaystyle {\int }_a^b\frac{{\left|f\right|}^p}{{\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\right|}^p}}}}\\ ={\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\\ =1\\ {\displaystyle {\int }_a^b{\left|g_1\right|}^q={\displaystyle {\int }_a^b\frac{{\left|g\right|}^q}{{\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\right|}^q}}}}\\ ={\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\right|}^q}\\ =1\\ \\ {\displaystyle {\int }_a^b{f}_1{g}_1}\le 1\\ {\displaystyle {\int }_a^b\frac{\left|f\right|}{{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}}·}\frac{\left|g\right|}{{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\right|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}}\le 1\\ {\displaystyle {\int }_a^b\left|f\right|\left|g\right|\le }{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\right|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \left|{\displaystyle {\int }_a^{b}fg}\right|\le {\displaystyle {\int }_a^b\left|fg\right|=}{\displaystyle {\int }_a^b\left|f\right|\left|g\right|\le }{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\right|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}\\ \left|{\displaystyle {\int }_a^{b}fg}\right|\le {\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left({\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\right|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Function, Integral

x, a, b, c = symbols('x a b c')
f = Function('f')(x)

expr1 = c * Integral(f, (x, a, b))
expr2 = Integral(c * f, (x, a, b))
pprint(expr1)
pprint(expr2)
print(expr1.doit() == expr2.doit())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
  b        
  ⌠        
c⋅⎮ f(x) dx
  ⌡        
  a        
b          
⌠          
⎮ c⋅f(x) dx
⌡          
a          
True
$