数学 - Python - JavaScript - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 平均値の定理 - 増加・減少関数(多項式の根の個数、n次導関数、ロルの定理、一定の面積、一定の周長、最大、最小、正三角形)

解析入門 原書第3版
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第5章(平均値の定理)、3(増加・減少関数)、練習問題23-28.を取り組んでみる。

23. 
    $\begin{array}{l}h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)\\ h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right)>0\\ h\left(c\right)=f\left(c\right)-g\left(c\right)=0\\ x>c\\ h\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)-g\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)>g\left(x\right)\\ x<c\\ h\left(x\right)<0\\ f\left(x\right)-g\left(x\right)<0\\ f\left(x\right)<g\left(x\right)\end{array}$
24. 
    $f\left(c_i\right)=f\left(c_{i+1}\right)$

    ロルの定理より、以下が成り立つ。

    $\begin{array}{l}f\left(c_i\right)=f\left(c_{i+1}\right)\\ \exists d_i\left[c_i<d_i<c_{i+1}\wedge f\text{'}\left(d_i\right)=0\right]\end{array}$

    よって、$f\text{'}$ は少なくとも$r-1$ 個の零点をもつ。

25. 
    $f^{\left(n\right)}\left(x\right)=a_{n}n!$

    この第n次導関数は、零点をもたない。

    問題の多項式が$n+1$ 個以上の根をもつと仮定すると、第n次導関数は少なくとも1個の根をもつことになり矛盾。

    よって、問題の多項式はたかだかn個の根しかもたない。

26. 
    

    三角形の面積をS、各辺の長さをそれぞれ a、b、c とする。

    $\begin{array}{l}a+b+c\ge 3{\left(abc\right)}^{\frac{1}{3}}\\ a=b=c\end{array}$
27. 
    $\begin{array}{l}\\ \\ S=\frac{1}{2}bc\sin A\\ 4S^2=b^2{c}^2{\sin }^{2}A\\ 4S^2=b^2{c}^2\left(1-{\cos }^{2}A\right)\\ \\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \\ 4S^2=b^2{c}^2\left(1-\cos A\right)\left(1+\cos A\right)\\ 1-\cos A=1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ =\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}\\ =\frac{a^2-{\left(b-c\right)}^2}{2bc}\\ =\frac{\left(a-\left(b-c\right)\right)\left(a+\left(b-c\right)\right)}{2bc}\\ =\frac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{2bc}\\ 1+\cos A=1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ =\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ =\frac{{\left(b+c\right)}^2-a^2}{2bc}\\ =\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}\\ \\ 4S^2=b^2{c}^2\frac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}{2bc}\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}\\ 4S^2=\frac{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{4}\\ \\ {\left(\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\right)}^{\frac{1}{3}}\le \frac{\left(a-b+c\right)+\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}{3}\\ a-b+c=a+b-c=b+c-a\\ 2a=2b\\ a=b\\ c=a\\ a=b=c\end{array}$
28. 
    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\tan x-x\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\\ 0\le x<\frac{\pi }{2}\\ f\text{'}\left(x\right)\ge 0\\ f\left(0\right)=\tan 0-0=0\\ \tan x-x\ge 0\\ \tan x\ge 0\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Derivative, tan, plot

x = symbols('x')
f = tan(x) - x
d = Derivative(f, x)
pprint(d)
f1 = d.doit()
pprint(f1)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample23.py
d              
──(-x + tan(x))
dx             
   2   
tan (x)
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample23.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let factorial = (n) => range(1, n + 1).reduce((prev, next) => prev * next, 1);

let f = (x) => Math.tan(x),
    g = (x) => x;

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);
    
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;n
    }
    let points = [],
        lines = [],
        fns = [[f, 'red'], [g, 'green']];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    p(fns.join('\n'));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =