数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(トレース(跡、trace)、可換、逆行列)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
参考書籍

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題20、21.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} t r (A) = 0 \\ t r (B) = 3 \\ t r (A B) = 3 \\ t r (B A) = 3 \end{array}$
1. $\begin{array}{l} A B = (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j}) \\ t r (A B) = \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{l k} b_{k l} \\ B A = (\sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k j}) \\ t r (B A) = \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} b_{l k} a_{k l} = \sum_{l = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{l k} b_{k l} = t r (A B) \end{array}$
2. $\begin{array}{l} t r ((B^{- 1} A) B) \\ = t r (B (B^{- 1} A)) \\ = t r (A) \end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Matrix, randMatrix, solve, symbols

print('20.')

A = Matrix([[1, 2],
            [3, -1]])
B = Matrix([[2, 0],
            [1, 1]])

for C in [A, B, A * B, B * A]:
    pprint(C)
    pprint(C.trace())
    print()

print('21.')
print('(a)')
for n in range(2, 10):
    A = randMatrix(10)
    B = randMatrix(10)
    pprint(A)
    pprint(B)
    print((A * B).trace() == (B * A).trace())
    print()

print('(b)')
for n in range(2, 10):
    I = Matrix([[1 if i == j else 0 for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    A = randMatrix(n)
    while True:
        B = randMatrix(n)
        try:
            C = B.inv()
        except Exception as err:
            print(err)
            continue
        break
    print((C * A * B).trace() == A.trace())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample20.py
20.
⎡1  2 ⎤
⎢     ⎥
⎣3  -1⎦
0

⎡2  0⎤
⎢    ⎥
⎣1  1⎦
3

⎡4  2 ⎤
⎢     ⎥
⎣5  -1⎦
3

⎡2  4⎤
⎢    ⎥
⎣4  1⎦
3

21.
(a)
⎡2   43  92  91  45  4   9   91  79  52⎤
⎢                                      ⎥
⎢42  75  99  82  17  51  75  65  75  33⎥
⎢                                      ⎥
⎢60  61  71  68  6   43  19  48  87  5 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢31  6   55  8   49  93  62  63  80  50⎥
⎢                                      ⎥
⎢46  43  12  29  37  3   32  18  81  18⎥
⎢                                      ⎥
⎢77  18  15  47  35  89  87  40  17  44⎥
⎢                                      ⎥
⎢80  54  11  95  84  65  44  69  14  51⎥
⎢                                      ⎥
⎢33  52  75  73  21  38  30  68  69  16⎥
⎢                                      ⎥
⎢11  88  3   28  25  56  84  15  34  49⎥
⎢                                      ⎥
⎣54  92  29  11  59  5   28  85  69  11⎦
⎡59  13  90  82  80  16  55  24  59  40⎤
⎢                                      ⎥
⎢3   3   28  2   2   88  26  99  23  86⎥
⎢                                      ⎥
⎢80  20  19  47  76  23  77  83  4   37⎥
⎢                                      ⎥
⎢8   10  8   88  82  93  39  85  22  37⎥
⎢                                      ⎥
⎢23  73  60  7   13  67  58  38  72  64⎥
⎢                                      ⎥
⎢98  67  81  38  24  48  86  61  26  22⎥
⎢                                      ⎥
⎢77  73  41  95  34  52  13  55  36  51⎥
⎢                                      ⎥
⎢70  92  73  43  10  6   32  85  6   61⎥
⎢                                      ⎥
⎢76  35  14  63  58  19  34  86  93  20⎥
⎢                                      ⎥
⎣46  16  15  23  59  87  72  55  42  47⎦
True

⎡0   58  71  97  19  77  72  5   40  31⎤
⎢                                      ⎥
⎢85  41  48  47  74  9   97  98  74  38⎥
⎢                                      ⎥
⎢15  14  92  84  21  29  52  4   49  46⎥
⎢                                      ⎥
⎢49  10  63  84  67  37  22  65  56  27⎥
⎢                                      ⎥
⎢55  13  15  50  36  72  40  78  91  45⎥
⎢                                      ⎥
⎢73  20  48  70  60  24  81  2   19  19⎥
⎢                                      ⎥
⎢50  50  28  98  77  42  69  70  1   52⎥
⎢                                      ⎥
⎢24  11  38  55  73  47  0   71  83  77⎥
⎢                                      ⎥
⎢62  52  33  92  55  75  46  24  87  11⎥
⎢                                      ⎥
⎣16  91  32  22  38  36  81  95  62  34⎦
⎡35  28  84  26  91  81  89  2   17  13⎤
⎢                                      ⎥
⎢17  7   73  74  22  43  22  5   35  8 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢3   2   55  99  2   87  31  95  7   85⎥
⎢                                      ⎥
⎢60  31  73  54  59  19  87  96  15  70⎥
⎢                                      ⎥
⎢14  81  33  78  35  44  48  79  57  91⎥
⎢                                      ⎥
⎢83  72  47  81  89  20  69  95  42  16⎥
⎢                                      ⎥
⎢86  26  33  2   8   2   48  56  34  36⎥
⎢                                      ⎥
⎢11  21  30  94  70  50  43  91  75  43⎥
⎢                                      ⎥
⎢2   21  83  40  69  68  16  21  46  47⎥
⎢                                      ⎥
⎣97  34  5   81  99  84  56  17  63  36⎦
True

⎡3   48  6   77  44  98  31  52  22  73⎤
⎢                                      ⎥
⎢89  12  35  13  56  85  4   65  48  14⎥
⎢                                      ⎥
⎢13  32  68  44  46  67  89  35  9   31⎥
⎢                                      ⎥
⎢76  75  87  8   22  0   45  80  3   6 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢12  87  16  5   94  29  8   68  42  27⎥
⎢                                      ⎥
⎢18  63  75  6   86  70  77  73  96  60⎥
⎢                                      ⎥
⎢87  98  53  59  52  54  49  91  33  59⎥
⎢                                      ⎥
⎢5   89  6   56  0   14  32  39  97  32⎥
⎢                                      ⎥
⎢98  75  35  43  77  75  0   42  97  25⎥
⎢                                      ⎥
⎣81  11  5   66  64  22  49  80  70  95⎦
⎡79  83  64  52  7   60  29  50  41  70⎤
⎢                                      ⎥
⎢42  49  97  2   35  70  58  4   35  81⎥
⎢                                      ⎥
⎢60  90  84  84  42  50  83  45  99  23⎥
⎢                                      ⎥
⎢77  18  0   57  30  51  9   45  64  64⎥
⎢                                      ⎥
⎢61  68  76  97  24  53  57  75  36  9 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢85  70  40  16  55  33  87  32  62  8 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢73  95  44  0   8   30  5   34  94  20⎥
⎢                                      ⎥
⎢14  26  60  34  88  33  41  39  1   38⎥
⎢                                      ⎥
⎢27  60  60  27  53  80  9   8   5   10⎥
⎢                                      ⎥
⎣68  14  46  76  91  98  49  47  28  81⎦
True

⎡69  75  17  5   7   76  38  44  38  97⎤
⎢                                      ⎥
⎢94  93  46  76  31  43  45  39  46  54⎥
⎢                                      ⎥
⎢83  48  80  1   41  51  8   38  75  24⎥
⎢                                      ⎥
⎢75  73  84  33  12  54  92  22  37  84⎥
⎢                                      ⎥
⎢25  61  76  68  42  3   76  6   3   86⎥
⎢                                      ⎥
⎢84  62  43  52  9   45  86  81  16  92⎥
⎢                                      ⎥
⎢77  69  33  87  38  78  7   27  61  15⎥
⎢                                      ⎥
⎢13  11  12  81  10  11  78  16  84  91⎥
⎢                                      ⎥
⎢21  35  95  58  38  83  88  63  36  96⎥
⎢                                      ⎥
⎣11  62  24  98  4   97  19  93  36  10⎦
⎡82  65  84  92  58  17  30  74  4   18⎤
⎢                                      ⎥
⎢74  35  5   98  47  93  28  29  72  9 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢62  5   81  81  56  82  17  16  55  22⎥
⎢                                      ⎥
⎢59  84  53  31  90  33  53  66  82  58⎥
⎢                                      ⎥
⎢39  88  83  92  79  27  50  39  16  16⎥
⎢                                      ⎥
⎢69  48  54  64  59  46  64  9   47  94⎥
⎢                                      ⎥
⎢10  17  38  26  38  58  94  93  12  68⎥
⎢                                      ⎥
⎢34  79  69  19  34  49  25  69  8   69⎥
⎢                                      ⎥
⎢7   20  38  91  70  12  60  79  99  69⎥
⎢                                      ⎥
⎣79  70  74  50  23  74  59  74  68  62⎦
True

⎡72  98  65  47  55  94  92  86  62  39⎤
⎢                                      ⎥
⎢26  22  72  81  23  16  3   78  94  83⎥
⎢                                      ⎥
⎢41  89  5   96  0   99  94  52  47  8 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢87  72  74  94  52  20  28  82  7   82⎥
⎢                                      ⎥
⎢13  80  86  51  63  19  91  18  59  75⎥
⎢                                      ⎥
⎢43  71  7   21  73  97  62  83  49  25⎥
⎢                                      ⎥
⎢66  98  4   76  35  74  72  98  26  22⎥
⎢                                      ⎥
⎢22  88  4   84  7   97  11  55  42  30⎥
⎢                                      ⎥
⎢83  78  88  73  53  25  12  11  58  92⎥
⎢                                      ⎥
⎣16  34  94  94  35  95  14  9   37  79⎦
⎡36  0   7   53  64  78  11  26  21  81⎤
⎢                                      ⎥
⎢39  9   64  81  11  66  87  15  37  66⎥
⎢                                      ⎥
⎢22  53  79  50  72  74  95  86  75  82⎥
⎢                                      ⎥
⎢4   62  57  58  5   98  95  0   93  35⎥
⎢                                      ⎥
⎢18  79  27  84  63  44  42  35  17  63⎥
⎢                                      ⎥
⎢49  24  32  43  75  25  2   4   54  30⎥
⎢                                      ⎥
⎢14  70  53  91  83  6   60  85  71  94⎥
⎢                                      ⎥
⎢22  45  17  60  45  26  96  26  0   31⎥
⎢                                      ⎥
⎢63  90  23  54  19  49  26  74  28  65⎥
⎢                                      ⎥
⎣71  64  89  55  86  97  50  5   27  90⎦
True

⎡73  85  64  81  61  60  49  78  58  72⎤
⎢                                      ⎥
⎢37  72  1   20  5   4   84  67  16  95⎥
⎢                                      ⎥
⎢36  13  50  72  26  78  42  16  13  87⎥
⎢                                      ⎥
⎢9   94  53  96  9   56  88  19  45  49⎥
⎢                                      ⎥
⎢95  58  91  97  77  2   84  87  12  2 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢25  40  26  68  79  5   91  32  22  57⎥
⎢                                      ⎥
⎢65  52  68  64  96  84  33  14  5   30⎥
⎢                                      ⎥
⎢61  88  64  15  96  35  67  15  23  23⎥
⎢                                      ⎥
⎢45  58  64  51  35  99  41  57  61  34⎥
⎢                                      ⎥
⎣62  54  64  56  27  0   58  88  75  13⎦
⎡0   33  50  6   25  22  77  24  54  21⎤
⎢                                      ⎥
⎢23  97  51  12  94  17  57  24  88  12⎥
⎢                                      ⎥
⎢49  65  89  90  59  69  97  24  95  94⎥
⎢                                      ⎥
⎢93  47  86  34  69  16  27  92  86  82⎥
⎢                                      ⎥
⎢11  40  30  51  25  95  37  32  35  42⎥
⎢                                      ⎥
⎢74  74  96  25  25  70  51  24  90  49⎥
⎢                                      ⎥
⎢90  30  14  26  29  94  35  84  10  8 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢28  57  77  8   89  42  97  8   27  47⎥
⎢                                      ⎥
⎢21  30  41  44  30  71  7   98  13  14⎥
⎢                                      ⎥
⎣0   5   21  61  9   46  29  64  27  13⎦
True

⎡72  30  27  41  62  96  65  66  74  61⎤
⎢                                      ⎥
⎢73  23  65  51  99  83  59  71  68  24⎥
⎢                                      ⎥
⎢98  50  53  41  99  34  52  67  59  79⎥
⎢                                      ⎥
⎢29  98  30  26  99  31  23  49  65  6 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢60  61  30  11  31  55  31  33  1   21⎥
⎢                                      ⎥
⎢35  38  61  99  2   96  66  28  54  97⎥
⎢                                      ⎥
⎢64  63  48  35  39  88  30  88  60  19⎥
⎢                                      ⎥
⎢78  11  54  94  0   45  40  25  65  1 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢6   72  76  58  87  25  66  74  15  37⎥
⎢                                      ⎥
⎣78  61  14  32  86  40  39  35  14  93⎦
⎡49  93  58  83  29  13  80  27  32  26⎤
⎢                                      ⎥
⎢79  24  94  79  90  25  20  33  22  71⎥
⎢                                      ⎥
⎢81  18  10  40  93  68  74  24  25  67⎥
⎢                                      ⎥
⎢99  32  8   14  32  64  94  56  29  74⎥
⎢                                      ⎥
⎢39  91  5   49  4   90  20  38  57  49⎥
⎢                                      ⎥
⎢91  34  7   63  37  81  4   19  45  33⎥
⎢                                      ⎥
⎢4   47  95  35  72  35  45  3   3   83⎥
⎢                                      ⎥
⎢98  36  3   65  24  31  9   81  20  42⎥
⎢                                      ⎥
⎢33  2   70  75  85  27  88  24  80  44⎥
⎢                                      ⎥
⎣72  86  15  78  35  56  85  1   23  80⎦
True

⎡65  88  38  82  43  47  9   36  53  16⎤
⎢                                      ⎥
⎢69  9   94  32  94  15  73  57  11  84⎥
⎢                                      ⎥
⎢2   89  17  17  51  25  20  33  39  45⎥
⎢                                      ⎥
⎢42  37  79  79  10  72  26  34  39  79⎥
⎢                                      ⎥
⎢32  52  21  51  50  43  68  81  37  9 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢36  86  44  81  81  42  35  56  70  50⎥
⎢                                      ⎥
⎢41  57  81  81  21  99  53  52  90  58⎥
⎢                                      ⎥
⎢18  81  84  82  80  37  94  99  20  55⎥
⎢                                      ⎥
⎢44  66  38  56  21  66  2   27  82  12⎥
⎢                                      ⎥
⎣27  0   70  58  9   61  3   65  61  36⎦
⎡5   50  74  88  82  83  61  91  43  90⎤
⎢                                      ⎥
⎢75  60  77  26  41  16  57  13  47  43⎥
⎢                                      ⎥
⎢89  97  62  96  83  20  14  69  97  98⎥
⎢                                      ⎥
⎢49  0   60  44  69  61  89  63  62  1 ⎥
⎢                                      ⎥
⎢44  52  79  99  26  13  72  59  40  30⎥
⎢                                      ⎥
⎢95  24  49  65  79  69  8   40  80  22⎥
⎢                                      ⎥
⎢83  46  62  76  59  87  8   28  98  26⎥
⎢                                      ⎥
⎢41  56  64  77  22  46  5   61  52  71⎥
⎢                                      ⎥
⎢34  86  53  2   45  1   67  95  94  95⎥
⎢                                      ⎥
⎣17  2   96  28  86  22  67  44  44  31⎦
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(b)
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Kamimura's blog

2017年6月9日金曜日

数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(トレース(跡、trace)、可換、逆行列)

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