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2017年6月17日土曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題6、7.を取り組んでみる。


  1. F(u+v)=(f(u+v),g(u+v))=(f(u)+f(v),g(u)+g(v))=(f(u),g(u))+(f(v),g(v))=F(u)+F(v)F(cv)=(f(cv),g(cv))=(cf(v),cg(v))=c(f(v),g(v))=cF(v)

    一般化。

    Fn(v)=(f1(v),f2(v),,fn(v))Fn(u+v)=(f1(u+v),f2(u+v),,fn(u+v))=(f1(u)+f1(v),f2(u)+f2(v),,fn(u)+fn(v))=(f1(u),f2(u),,fn(u))+(f1(v),f2(v),,fn(v))=Fn(u)+Fn(v)Fn(cv)=(f1(cv),f2(cv),,fn(cv))=(cf1(v),cf2(v),,cfn(v))=c(f1(v),f2(v),,fn(v))=cFn(v)

  2. v1,v2UF(v1+v2)=F(v1)+F(v2)=O+O=Ov1+v2UF(cv1)=cF(v1)=cO=Ocv1UOVF(O)=OOU

    よって、V の部分集合U は、Vの部分空間である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, randMatrix
import random

print('6.')

f = lambda v: 2 * v[0] + 3 * v[1]
g = lambda v: 4 * v[0] + 5 * v[1]

F = lambda v: Matrix([f(v), g(v)])

for _ in range(5):
    u = randMatrix(1, 2)
    v = randMatrix(1, 2)
    pprint(u)
    pprint(v)
    print(F(u + v) == F(u) + F(v))
    c = random.randrange(100)
    print(F(c * v) == c * F(v))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
6.
[79  84]
[84  68]
True
True
[53  80]
[50  35]
True
True
[85  92]
[89  88]
True
True
[0  18]
[21  8]
True
True
[85  65]
[33  46]
True
True
$

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