数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(ベクトル空間、部分空間)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題6、7.を取り組んでみる。

6. 
   $\begin{array}{l}F\left(u+v\right)\\ =\left(f\left(u+v\right),g\left(u+v\right)\right)\\ =\left(f\left(u\right)+f\left(v\right),g\left(u\right)+g\left(v\right)\right)\\ =\left(f\left(u\right),g\left(u\right)\right)+\left(f\left(v\right),g\left(v\right)\right)\\ =F\left(u\right)+F\left(v\right)\\ \\ F\left(cv\right)\\ =\left(f\left(cv\right),g\left(cv\right)\right)\\ =\left(cf\left(v\right),cg\left(v\right)\right)\\ =c\left(f\left(v\right),g\left(v\right)\right)\\ =cF\left(v\right)\end{array}$

   一般化。

   $\begin{array}{l}{F}_n\left(v\right)=\left(f_1\left(v\right),f_2\left(v\right),\cdots ,f_n\left(v\right)\right)\\ \\ F_n\left(u+v\right)=\left(f_1\left(u+v\right),f_2\left(u+v\right),\cdots ,f_n\left(u+v\right)\right)\\ =\left(f_1\left(u\right)+f_1\left(v\right),f_2\left(u\right)+f_2\left(v\right),\cdots ,f_n\left(u\right)+f_n\left(v\right)\right)\\ =\left(f_1\left(u\right),f_2\left(u\right),\cdots ,f_n\left(u\right)\right)+\left(f_1\left(v\right),f_2\left(v\right),\cdots ,f_n\left(v\right)\right)\\ =F_n\left(u\right)+F_n\left(v\right)\\ \\ F_n\left(cv\right)\\ =\left(f_1\left(cv\right),f_2\left(cv\right),\cdots ,f_n\left(cv\right)\right)\\ =\left(c{f}_1\left(v\right),c{f}_2\left(v\right),\cdots ,c{f}_n\left(v\right)\right)\\ =c\left(f_1\left(v\right),f_2\left(v\right),\cdots ,f_n\left(v\right)\right)\\ =c{F}_n\left(v\right)\end{array}$
7. 
   $\begin{array}{l}{v}_1,v_2\in U\\ F\left(v_1+v_2\right)\\ =F\left(v_1\right)+F\left(v_2\right)\\ =O+O\\ =O\\ v_1+v_2\in U\\ F\left(c{v}_1\right)\\ =cF\left(v_1\right)\\ =cO\\ =O\\ c{v}_1\in U\\ O\in V\\ F\left(O\right)=O\\ O\in U\end{array}$

   よって、$V$ の部分集合$U$ は、Vの部分空間である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, randMatrix
import random

print('6.')

f = lambda v: 2 * v[0] + 3 * v[1]
g = lambda v: 4 * v[0] + 5 * v[1]

F = lambda v: Matrix([f(v), g(v)])

for _ in range(5):
    u = randMatrix(1, 2)
    v = randMatrix(1, 2)
    pprint(u)
    pprint(v)
    print(F(u + v) == F(u) + F(v))
    c = random.randrange(100)
    print(F(c * v) == c * F(v))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
6.
[79  84]
[84  68]
True
True
[53  80]
[50  35]
True
True
[85  92]
[89  88]
True
True
[0  18]
[21  8]
True
True
[85  65]
[33  46]
True
True
$