数学 - Python - 線形代数学 - 行列 – 行列の乗法(累乗、零行列)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の3章(行列)、3(行列の乗法)、練習問題11、12.を取り組んでみる。

11. 
    $\begin{array}{l}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \\ \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$
12. 
    $\begin{array}{l}{A}^2=\left(\begin{array}{cc}1& \alpha \\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& \alpha \\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\alpha \\ 0& 1\end{array}\right)\\ A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\alpha \\ 0& 1\end{array}\right)\\ A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\alpha \\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, Matrix, symbols

print('11.')
for n in range(1, 10):
    A = Matrix([[0 if i >= j else 1 for j in range(n)]
                for i in range(n)])
    for i in range(1, n + 1):
        pprint(A ** i)
        print()
    print()

print('12.')
a = symbols('a')
A = Matrix([[1, a],
            [0, 1]])
for i in range(1, 6):
    pprint(A ** i)
    print()

n = symbols('n', integer=True)
pprint(A ** n)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample11.py
11.
[0]


⎡0  1⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦

⎡0  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  0⎦


⎡0  1  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  1⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦

⎡0  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  0  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  0⎦


⎡0  1  1  1⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  1  1⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  1⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦

⎡0  0  1  2⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  1⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  1⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0⎤
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎢0  0  0  0⎥
⎢          ⎥
⎣0  0  0  0⎦


⎡0  1  1  1  1⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  1  1  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  1  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  1⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  1  2  3⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  1  2⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  1  3⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  1⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  1⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0⎤
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎢0  0  0  0  0⎥
⎢             ⎥
⎣0  0  0  0  0⎦


⎡0  1  1  1  1  1⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  1  1  1  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  1  1  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  1  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  1⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  1  2  3  4⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  1  2  3⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  1  2⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  1  3  6⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  1  3⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  1  4⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  1⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0  1⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0  0⎤
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎢0  0  0  0  0  0⎥
⎢                ⎥
⎣0  0  0  0  0  0⎦


⎡0  1  1  1  1  1  1⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  1  1  1  1  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  1  1  1  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  1  1  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  1  2  3  4  5⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  1  2  3  4⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  1  2  3⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  2⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  1  3  6  10⎤
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  1  3  6 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  3 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0 ⎦

⎡0  0  0  0  1  4  10⎤
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  4 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                    ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0 ⎦

⎡0  0  0  0  0  1  5⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0  0  1⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0  0  0⎤
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                   ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0⎦


⎡0  1  1  1  1  1  1  1⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  1  1  1  1  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  1  1  1  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  1  1  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  1  2  3  4  5  6⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  1  2  3  4  5⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  1  2  3  4⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  2  3⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  2⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  1  3  6  10  15⎤
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  1  3  6   10⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  3   6 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1   3 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   1 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0   0 ⎦

⎡0  0  0  0  1  4  10  20⎤
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  4   10⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1   4 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   1 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                        ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0   0 ⎦

⎡0  0  0  0  0  1  5  15⎤
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  5 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                       ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                       ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0 ⎦

⎡0  0  0  0  0  0  1  6⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0  0  0  1⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0  0  0  0⎤
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                      ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0⎦


⎡0  1  1  1  1  1  1  1  1⎤
⎢                         ⎥
⎢0  0  1  1  1  1  1  1  1⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  1  1  1  1  1  1⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  1  1  1  1  1⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  1  1  1⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  1  1⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1  1⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                         ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  1  2  3  4  5  6  7⎤
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  1  2  3  4  5  6⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  1  2  3  4  5⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  2  3  4⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  2  3⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1  2⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  1  3  6  10  15  21⎤
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  1  3  6   10  15⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  3   6   10⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1   3   6 ⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   1   3 ⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0   1 ⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0   0 ⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0   0 ⎥
⎢                            ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0   0   0 ⎦

⎡0  0  0  0  1  4  10  20  35⎤
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  1  4   10  20⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1   4   10⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   1   4 ⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0   1 ⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0   0 ⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0   0 ⎥
⎢                            ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0   0   0 ⎥
⎢                            ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0   0   0 ⎦

⎡0  0  0  0  0  1  5  15  35⎤
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  1  5   15⎥
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1   5 ⎥
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0   1 ⎥
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                           ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0   0 ⎥
⎢                           ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0   0 ⎦

⎡0  0  0  0  0  0  1  6  21⎤
⎢                          ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  1  6 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  1 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                          ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0 ⎥
⎢                          ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0  0 ⎦

⎡0  0  0  0  0  0  0  1  7⎤
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  1⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0  0  0  0  1⎤
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0  0⎦

⎡0  0  0  0  0  0  0  0  0⎤
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎢0  0  0  0  0  0  0  0  0⎥
⎢                         ⎥
⎣0  0  0  0  0  0  0  0  0⎦


12.
⎡1  a⎤
⎢    ⎥
⎣0  1⎦

⎡1  2⋅a⎤
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡1  3⋅a⎤
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡1  4⋅a⎤
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡1  5⋅a⎤
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦

⎡1  a⋅n⎤
⎢      ⎥
⎣0   1 ⎦
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