数学 - Python - 解析学 - 関数の近似、テイラーの定理 - テイラーの定理(近似多項式、剰余項)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(関数の近似、テイラーの定理)、6.1(テイラーの定理)、問題3.を取り組んでみる。

3. 
   $\begin{array}{l}{P}_{n-1}\left(x\right)=f\left(0\right)+f\text{'}\left(0\right)x+\frac{f\text{'}\text{'}\left(0\right)}{2!}{x}^2\\ 0<c<1\\ f\left(1\right)=P_{n-1}\left(1\right)+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)}{3!}{\left(1-0\right)}^3=\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)}{6}\\ \frac{f^3\left(c\right)}{6}=1\\ f^3\left(c\right)=6\\ -1<d<0\\ f\left(-1\right)=P_{n-1}+\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)}{3!}{\left(-1-0\right)}^3=-\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)}{6}\\ -\frac{f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)}{6}=-1\\ f\text{'}\text{'}\text{'}\left(d\right)=6\\ f\text{'}\text{'}\text{'}\left(c\right)+f\left(d\right)=12\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, sin, pi, Derivative, solve

x = symbols('x')
f = sin(pi / 2 * x)

for x0 in [-1, 0, 1]:
    print(f.subs({x: x0}) == x0)

f3 = Derivative(f, x, 3).doit()
pprint(solve(f3 - 6, x, dict=True))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample3.py
True
True
True
⎡⎧         ⎛-48 ⎞⎫  ⎧             ⎛-48 ⎞⎫⎤
⎢⎪   2⋅acos⎜────⎟⎪  ⎪       2⋅acos⎜────⎟⎪⎥
⎢⎪         ⎜  3 ⎟⎪  ⎪             ⎜  3 ⎟⎪⎥
⎢⎨         ⎝ π  ⎠⎬  ⎨             ⎝ π  ⎠⎬⎥
⎢⎪x: ────────────⎪, ⎪x: 4 - ────────────⎪⎥
⎢⎪        π      ⎪  ⎪            π      ⎪⎥
⎣⎩               ⎭  ⎩                   ⎭⎦
$