数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - 位置ベクトル(三角形の重心と頂点、六角形の6つの辺とその中点)

学習環境

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、5(位置ベクトル)、問1、2.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} \frac{\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C}}{3} = \vec{P G} \\ \vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = 3 \vec{P G} \end{array}$
六角形の頂点をDEFGHIとし、順にDEの中点をA、EFの中点をA'とする。

三角形ABCの重心をG、三角形A'B'C'の重心をG'とする。
$\begin{array}{l} \vec{O A} = \frac{\vec{O D} + \vec{O E}}{2} \\ \vec{O A'} = \frac{\vec{O E} + \vec{O F}}{2} \\ \vec{O B} = \frac{\vec{O F} + \vec{O G}}{2} \\ \vec{O B'} = \frac{\vec{O G} + \vec{O H}}{2} \\ \vec{O C} = \frac{\vec{O H} + \vec{O I}}{2} \\ \vec{O C'} = \frac{\vec{O I} + \vec{O D}}{2} \\ \vec{O G} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}}{3} \\ = \frac{\vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} + \vec{O G} + \vec{O H} + \vec{O I}}{6} \\ \vec{O G'} = \frac{\vec{O A'} + \vec{O B'} + \vec{O C'}}{3} \\ = \frac{\vec{O E} + \vec{O F} + \vec{O G} + \vec{O H} + \vec{O I} + \vec{O D}}{6} \\ = \frac{\vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} + \vec{O G} + \vec{O H} + \vec{O I}}{6} \\ \vec{O G} = \vec{O G'} \end{array}$

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