数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - 空間における直線・平面の方程式(空間の点と平面の距離)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、10(空間における直線・平面の方程式)、問10.を取り組んでみる。

10. 
    

    点$P=\left(x_0,y_0,z_0\right)$ から問題の平面に下ろした垂線の足をQとする。$\overrightarrow{PQ}$ は法ベクトル(a, b, c)と平行である。

    $\begin{array}{l}a=\left(a,b,c\right)\\ \overrightarrow{PQ}=ka\\ q-p=ka\\ q=p+ka\\ \\ x=\left(x,y,z\right)\\ a·x=-d\end{array}$

    Qは問題の平面上の点である。

    $\begin{array}{l}a=\left(a,b,c\right)\\ \overrightarrow{PQ}=ka\\ q-p=ka\\ q=p+ka\\ \\ x=\left(x,y,z\right)\\ a·x=-d\\ \\ a·q=-d\\ a·p+k\left(a·a\right)=-d\\ k=\frac{-d-a·p}{{\left|a\right|}^2}\\ q=p-\frac{a·p+d}{{\left|a\right|}^2}a\end{array}$

    求める点Pから平面までの距離。

    $\begin{array}{l}a=\left(a,b,c\right)\\ \overrightarrow{PQ}=ka\\ q-p=ka\\ q=p+ka\\ \\ x=\left(x,y,z\right)\\ a·x=-d\\ \\ a·q=-d\\ a·p+k\left(a·a\right)=-d\\ k=\frac{-d-a·p}{{\left|a\right|}^2}\\ q=p-\frac{a·p+d}{{\left|a\right|}^2}a\\ \\ \left|\overrightarrow{PQ}\right|=\left|k\right|\left|a\right|\\ =\left|\frac{-d-a·p}{{\left|a\right|}^2}\right|\left|a\right|\\ =\frac{\left|d+a·p\right|}{\left|a\right|}\\ =\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{array}$