数学 - Python - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - 空間における直線・平面の方程式(2平面の法ベクトルのなす角の余弦、2平面の交線、方向ベクトル)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、10(空間における直線・平面の方程式)、問8、9.を取り組んでみる。

8. 
   $\begin{array}{l}\left(2,-1,1\right)·\left(1,2,-4\right)=\sqrt{4+1+1}\sqrt{1+4+16}\cos \theta \\ \cos \theta =\frac{2-2-4}{\sqrt{6}\sqrt{21}}\\ =\frac{-4}{3\sqrt{14}}\\ \\ \cos \theta \text{'}=\frac{4}{3\sqrt{14}}\end{array}$
9. 
   

   方向ベクトルを(a, b, c)とする。

   方向ベクトルは(2, -1, 1)、(1, 2, -4)と垂直。

   $\begin{array}{l}\left(2,-1,1\right)·\left(a,b,c\right)=0\\ \left(1,2,-4\right)·\left(a,b,c\right)=0\\ \\ 2a-b+c=0\\ a+2b-4c=0\\ \\ c=-2a+b\\ a+2b+8a-4b=0\\ b=\frac{9}{2}a\\ c=-2a+\frac{9}{2}a=\frac{5}{2}a\\ \\ \left(2,9,5\right)\end{array}$

   求める直線の方程式。

   $\begin{array}{l}x=\left(x_0,y_0,z_0\right)+t\left(2,9,5\right)\\ \\ 2x_0-y_0+z_0=3\\ x_0+2y_0-4z_0=0\\ \\ z_0=3-2x_0+y_0\\ x_0+2y_0-12+8x_0-4y_0=0\\ 9x_0-2y_0-12=0\\ y_0=\frac{9x_0-12}{2}\\ z_0=3-2x_0+\frac{9x_0-12}{2}\\ =\frac{5x_0-6}{2}\\ \\ x_0=0\\ y_0=-6\\ z_0=-3\\ \\ 6-3=3\\ -12+12=0\\ \\ x=\left(0,-6,-3\right)+t\left(2,9,5\right)\end{array}$

   媒介変数(パラメーター)tを消去。

   $\begin{array}{l}x=2t\\ y=-6+9t\\ z=-3+5t\\ t=\frac{x}{2}=\frac{y+6}{9}=\frac{z+3}{5}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve

print('8.')
x, y, z = symbols('x y z')
eq1 = 2 * x - y + z - 3
eq2 = x + 2 * y - 4 * z
pprint(eq1)
pprint(eq2)

pprint(solve((eq1, eq2), dict=True))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample8.py
8.
2⋅x - y + z - 3
x + 2⋅y - 4⋅z
⎡⎧   2⋅z   6     9⋅z   3⎫⎤
⎢⎨x: ─── + ─, y: ─── - ─⎬⎥
⎣⎩    5    5      5    5⎭⎦
$