数学 - Python - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - 空間の座標と空間内のベクトル(2点の距離、球体の方程式、正三角形、正四面体、内積、方向ベクトル、直交)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、9(空間の座標と空間内のベクトル)、問1、2、3、4、5.を取り組んでみる。

1. 
   

   座標を考えれば示すことができる。

2. 
   $\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2}=r$

   よって、前問の問1より点(a, b, c)と点(x, y, z)の距離はrで一定。

   ゆえに、問題の方程式は空間において表される図形は、中心(a, b, c)、半径rの球体である。

3. 
   $\begin{array}{l}P\left(x,y,z\right)\\ AP=\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+y^2+z^2}\\ PB=\sqrt{x^2+{\left(y+1\right)}^2+z^2}\\ 2\sqrt{x^2+{\left(y+1\right)}^2+z^2}=\sqrt{{\left(x-2\right)}^2+y^2+z^2}\\ 4\left(x^2+{\left(y+1\right)}^2+z^2\right)={\left(x-2\right)}^2+y^2+z^2\\ 3x^2+4x+3y^2+8y+3z^2=0\\ 3{\left(x+\frac{2}{3}\right)}^2+3{\left(y+\frac{4}{3}\right)}^2+3z^2=\frac{4}{3}+\frac{16}{3}\\ {\left(x+\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(y+\frac{4}{3}\right)}^2+z^2=\frac{20}{9}\\ {\left(x+\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(y+\frac{4}{3}\right)}^2+z^2={\left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)}^2\\ 中心\left(-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},0\right)、半径\frac{2\sqrt{5}}{3}の球体。\end{array}$
4. 1. 
      $\begin{array}{l}AB=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}\hfill \\ BC=\sqrt{1^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}\hfill \\ CA=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6}\hfill \end{array}$

      よって三角形ABCは正三角形。

   2. 
      $\begin{array}{l}D\left(a,b,c\right)\\ AD=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+{\left(c-3\right)}^2}=\sqrt{6}\\ BD=\sqrt{{\left(a-2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2}=\sqrt{6}\\ CD=\sqrt{{\left(a-3\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-2\right)}^2}=\sqrt{6}\\ \\ {\left(a-1\right)}^2+{\left(b-2\right)}^2+{\left(c-3\right)}^2=6\\ {\left(a-2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2+{\left(c-1\right)}^2=6\\ {\left(a-3\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2+{\left(c-2\right)}^2=6\\ \\ a^2-2a+1+b^2-4b+4+c^2-6c+9=6\\ a^2-4a+4+b^2-6b+9+c^2-2c+1=6\\ a^2-6a+9+b^2-2b+1+c^2-4c+4=6\\ \\ 2a-3+2b-5-4c+8=0\\ 2a-5-4b+8+2c-3=0\\ 4a-8-2b+3-2c+5=0\\ \\ 2a+2b-4c=0\\ 2a-4b+2c=0\\ 4a-2b-2c=0\\ \\ a+b-2c=0\\ a-2b+c=0\\ 2a-b-c=0\\ \\ c=-a+2b\\ \\ a+b+2a-4b=0\\ 3a-3b=0\\ b=a\\ c=-a+2a=a\\ \\ a^2-2a+1+a^2-4a+4+a^2-6a+9=6\\ 3a^2-12a+8=0\\ a=\frac{6\pm \sqrt{36-24}}{3}\\ =2\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\\ =2\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\\ \\ D\left(2\pm \frac{2}{\sqrt{3}},2\pm \frac{2}{\sqrt{3}},2\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\right)\end{array}$

      (複号同順)

   3. 
      $\begin{array}{l}\left(1,1,-2\right)·\left(-1\pm \frac{2}{\sqrt{3}},1\pm \frac{2}{\sqrt{3}},\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\right)\\ =-1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}+1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\mp \frac{4}{\sqrt{3}}\\ =\frac{\pm 4\mp 4}{\sqrt{3}}\\ =0\end{array}$
5. 
   $\begin{array}{l}\left|a-tb\right|\\ =\left|\left(3,0,-2\right)-t\left(1,2,-2\right)\right|\\ =\left|\left(3-t,-2t,-2+2t\right)\right|\\ =\sqrt{9+t^2-6t+4t^2+4\left(1+t^2-2t\right)}\\ =\sqrt{9t^2-14t+13}\\ =\sqrt{9{\left(t-\frac{7}{9}\right)}^2+C}\\ t_0=\frac{7}{9}\\ \\ \left(a-\frac{7}{9}b\right)·b\\ =a·b-\frac{7}{9}b·b\\ =3+4-\frac{7}{9}\left(1+4+4\right)\\ =3+7-7\\ =0\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, sqrt

print('1.')
a, b, c = symbols('a b c')
eq1 = sqrt((a - 1) ** 2 + (b - 2) ** 2 + (c - 3) ** 2) - sqrt(6)
eq2 = sqrt((a - 2) ** 2 + (b - 3) ** 2 + (c - 1) ** 2) - sqrt(6)
eq3 = sqrt((a - 3) ** 2 + (b - 1) ** 2 + (c - 2) ** 2) - sqrt(6)

s = solve((eq1, eq2, eq3), dict=True)
for s0 in s:
    pprint(s0)

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
1.
⎧     2⋅√3           2⋅√3           2⋅√3    ⎫
⎨a: - ──── + 2, b: - ──── + 2, c: - ──── + 2⎬
⎩      3              3              3      ⎭
⎧   2⋅√3         2⋅√3         2⋅√3    ⎫
⎨a: ──── + 2, b: ──── + 2, c: ──── + 2⎬
⎩    3            3            3      ⎭
$