学習環境
- Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
- MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
- MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
- 参考書籍
線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、9(空間の座標と空間内のベクトル)、問1、2、3、4、5.を取り組んでみる。
座標を考えれば示すことができる。
√(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=rよって、前問の問1より点(a, b, c)と点(x, y, z)の距離はrで一定。
ゆえに、問題の方程式は空間において表される図形は、中心(a, b, c)、半径rの球体である。
P(x,y,z)AP=√(x−2)2+y2+z2PB=√x2+(y+1)2+z22√x2+(y+1)2+z2=√(x−2)2+y2+z24(x2+(y+1)2+z2)=(x−2)2+y2+z23x2+4x+3y2+8y+3z2=03(x+23)2+3(y+43)2+3z2=43+163(x+23)2+(y+43)2+z2=209(x+23)2+(y+43)2+z2=(2√53)2中心(−23,−43,0)、半径2√53の球体。-
AB=√12+12+22=√6BC=√12+22+12=√6CA=√22+12+12=√6よって三角形ABCは正三角形。
D(a,b,c)AD=√(a−1)2+(b−2)2+(c−3)2=√6BD=√(a−2)2+(b−3)2+(c−1)2=√6CD=√(a−3)2+(b−1)2+(c−2)2=√6(a−1)2+(b−2)2+(c−3)2=6(a−2)2+(b−3)2+(c−1)2=6(a−3)2+(b−1)2+(c−2)2=6a2−2a+1+b2−4b+4+c2−6c+9=6a2−4a+4+b2−6b+9+c2−2c+1=6a2−6a+9+b2−2b+1+c2−4c+4=62a−3+2b−5−4c+8=02a−5−4b+8+2c−3=04a−8−2b+3−2c+5=02a+2b−4c=02a−4b+2c=04a−2b−2c=0a+b−2c=0a−2b+c=02a−b−c=0c=−a+2ba+b+2a−4b=03a−3b=0b=ac=−a+2a=aa2−2a+1+a2−4a+4+a2−6a+9=63a2−12a+8=0a=6±√36−243=2±2√33=2±2√3D(2±2√3,2±2√3,2±2√3)(複号同順)
(1,1,−2)·(−1±2√3,1±2√3,±2√3)=−1±2√3+1±2√3∓4√3=±4∓4√3=0
|a−tb|=|(3,0,−2)−t(1,2,−2)|=|(3−t,−2t,−2+2t)|=√9+t2−6t+4t2+4(1+t2−2t)=√9t2−14t+13=√9(t−79)2+Ct0=79(a−79b)·b=a·b−79b·b=3+4−79(1+4+4)=3+7−7=0
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- from sympy import pprint, symbols, solve, sqrt print('1.') a, b, c = symbols('a b c') eq1 = sqrt((a - 1) ** 2 + (b - 2) ** 2 + (c - 3) ** 2) - sqrt(6) eq2 = sqrt((a - 2) ** 2 + (b - 3) ** 2 + (c - 1) ** 2) - sqrt(6) eq3 = sqrt((a - 3) ** 2 + (b - 1) ** 2 + (c - 2) ** 2) - sqrt(6) s = solve((eq1, eq2, eq3), dict=True) for s0 in s: pprint(s0)
入出力結果(Terminal, IPython)
$ ./sample1.py 1. ⎧ 2⋅√3 2⋅√3 2⋅√3 ⎫ ⎨a: - ──── + 2, b: - ──── + 2, c: - ──── + 2⎬ ⎩ 3 3 3 ⎭ ⎧ 2⋅√3 2⋅√3 2⋅√3 ⎫ ⎨a: ──── + 2, b: ──── + 2, c: ──── + 2⎬ ⎩ 3 3 3 ⎭ $
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