数学 - Python - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - 空間における直線・平面の方程式(直線と平面との交点、方向ベクトル、垂直、平行)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、10(空間における直線・平面の方程式)、問1、2、3、4.を取り組んでみる。

1. 
   

   xy平面との交点

   $\begin{array}{l}\left(x,y,z\right)=\left(1,2,3\right)+t\left(2,-1,-8\right)\\ \left(x,y,z\right)=\left(1+2t,2-t,3-8t\right)\\ \\ 3-8t=0\\ t=\frac{3}{8}\\ \left(1+\frac{3}{4},2-\frac{3}{8},0\right)\\ =\left(\frac{7}{4},\frac{13}{8},0\right)\end{array}$

   zx平面との交点

   $\begin{array}{l}2-t=0\\ t=2\\ \left(5,0,-13\right)\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}\left(x,y,z\right)=\left(-1,2,3\right)+t\left(4,0,7\right)\\ \left(x,y,z\right)=\left(-1+4t,2,3+7t\right)\\ \left(-1+4t\right)-4·2+4\left(3+7t\right)=5\\ 32t=2\\ t=\frac{1}{16}\\ \left(x,y,z\right)=\left(-1+\frac{1}{4},2,3+\frac{7}{16}\right)\\ =\left(-\frac{3}{4},2,\frac{55}{16}\right)\end{array}$
3. 1. 
      $\begin{array}{l}\left(x+3,y-1,z-2\right)·\left(2,4,-5\right)=0\\ 2x+4y-5z+6-4+10=0\\ 2x+4y-5z=-12\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}\left(x-5,y-3,z+2\right)·\left(2,-3,1\right)=0\\ 2x-3y+z-10+9+2=0\\ 2x-3y+z=-1\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}x=\left(3,4,-1\right)+s\left(-2,0,6\right)+t\left(0,-4,6\right)\\ =\left(3-2s,4-4t,-1+6s+6t\right)\\ x=3-2s\\ y=4-4t\\ z=-1+6s+6t\\ s=\frac{x-3}{-2}\\ t=\frac{y-4}{-4}\\ z=-1-3x+9-\frac{3}{2}y+6\\ 3x+\frac{3}{2}y+z=14\\ 6x+3y+2z=28\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}x=\left(a,0,0\right)+s\left(-a,b,0\right)+t\left(-a,0,c\right)\\ x=a-sa-ta\\ y=sb\\ z=tc\\ s=\frac{y}{b}\\ t=\frac{z}{c}\\ x=a-\frac{y}{b}a-\frac{az}{c}\\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix

print('1.')
t = symbols('t')
m = Matrix([1 + 2 * t, 2 - t, 3 - 8 * t])
for i in [2, 1]:
    ts = solve(m[i])
    pprint(ts)
    pprint(m.subs({t: ts[0]}))

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
1.
[3/8]
⎡7/4 ⎤
⎢    ⎥
⎢13/8⎥
⎢    ⎥
⎣ 0  ⎦
[2]
⎡ 5 ⎤
⎢   ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢   ⎥
⎣-13⎦
$