数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 – 線形写像に対応する行列(恒等写像、時計方向の基底の回転、反時計周りの基底の回転)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
Windows 10 Pro (OS)
数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
参考書籍

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の5章(線形写像と行列)、3(線形写像に対応する行列)、練習問題3、4、5.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} E_{1}' = (\cos θ) E_{1} + (\sin θ) E_{2} \\ E_{2}' = (- \sin θ) E_{1} + (\cos θ) E_{2} \\ (\sin θ) E_{1}' = (\sin θ \cos θ) E_{1} + (\sin^{2} θ) E_{2} \\ (\cos θ) E_{2}' = (- \sin θ \cos θ) E_{1} + (\cos^{2} θ) E_{2} \\ (\sin θ) E_{1}' + (\cos θ) E_{2}' = E_{2} \\ (\cos θ) E_{1}' = (\cos^{2} θ) E_{1} + (\sin θ \cos θ) E_{2} \\ (\sin θ) E_{2}' = (- \sin^{2} θ) E_{1} + (\sin θ \cos θ) E_{2} \\ (\cos θ) E_{1}' - (\sin θ) E_{2}' = E_{1} \\ i d (E_{1}) = E_{1} = (\cos θ) E_{1}' + (- \sin θ) E_{2}' \\ i d (E_{2}) = E_{2} = (\sin θ) E_{1}' + (\cos θ) E_{2}' \\ (\begin{matrix} \cos θ & \sin θ \\ - \sin θ & \cos θ \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} \cos (- θ) & \sin (- θ) \\ - \sin (- θ) & \cos (- θ) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) \end{array}$
$\begin{array}{l} E_{1}' = (\cos \frac{π}{4}) E_{1} + (\sin \frac{π}{4}) E_{2} \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} E_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} E_{2} \\ E_{2^{'}}' = (- \sin \frac{π}{4}) E_{1} + (\cos \frac{π}{4}) E_{2} \\ = - \frac{1}{\sqrt{2}} E_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} E_{2} \\ M = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) \\ F ((\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})) = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{3}{\sqrt{2}} \end{matrix}) \end{array}$
$\begin{array}{l} E_{1}' = (\cos \frac{π}{2}) E_{1} + (\sin \frac{π}{2}) E_{2} \\ = 0 E_{1} + E_{2} \\ E_{2^{'}}' = (- \sin \frac{π}{2}) E_{1} + (\cos \frac{π}{2}) E_{2} \\ = - E_{1} + 0 E_{2} \\ F ((\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - 3 \\ - 1 \end{matrix}) \end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Matrix, cos, sin, pi

Θ = symbols('Θ')
M = Matrix([[cos(Θ), -sin(Θ)],
            [sin(Θ), cos(Θ)]])

pprint(M)

t = [(pi / 4, Matrix([1, 2])),
     (pi / 2, Matrix([-1, 3]))]

for i, (Θ0, X) in enumerate(t, 4):
    print('{0}.'.format(i))
    pprint(Θ0)
    M0 = M.subs({Θ: Θ0})
    pprint(M0)
    pprint(X)
    pprint(M0 * X)
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample3.py
⎡cos(Θ)  -sin(Θ)⎤
⎢               ⎥
⎣sin(Θ)  cos(Θ) ⎦
4.
π
─
4
⎡√2  -√2 ⎤
⎢──  ────⎥
⎢2    2  ⎥
⎢        ⎥
⎢√2   √2 ⎥
⎢──   ── ⎥
⎣2    2  ⎦
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣2⎦
⎡-√2 ⎤
⎢────⎥
⎢ 2  ⎥
⎢    ⎥
⎢3⋅√2⎥
⎢────⎥
⎣ 2  ⎦

5.
π
─
2
⎡0  -1⎤
⎢     ⎥
⎣1  0 ⎦
⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎣3 ⎦
⎡-3⎤
⎢  ⎥
⎣-1⎦

$

Kamimura's blog

2017年7月6日木曜日

数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像と行列 – 線形写像に対応する行列(恒等写像、時計方向の基底の回転、反時計周りの基底の回転)

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