数学 - 線型代数 - ベクトル空間 - 1次従属と1次独立(R^2(二次元)、ベクトル、成分表示、十分条件)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、6(1次従属と1次独立)、問1.を取り組んでみる。

1. 
   

   • $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$ のとき。

     $\begin{array}{l}{c}_{1}a+c_{2}b=0\\ \\ c_1\left(a_1,a_2\right)+c_2\left(b_1,b_2\right)=\left(0,0\right)\\ \left(c_1{a}_1+c_2{b}_2,c_1{a}_2+c_2{b}_2\right)=\left(0,0\right)\\ \\ c_1{a}_1+c_2{b}_1=0\\ c_1{a}_2+c_2{b}_2=0\\ \\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0\\ a_1{b}_2\ne a_2{b}_1\\ a_1:a_2\ne b_1:b_2\\ \\ k{a}_1=b_1\\ k{a}_2\ne b_2\\ \\ c_1{a}_1+c_{2}k{a}_1=0\\ c_1{a}_2+c_{2}k{a}_2=0\\ \\ \left(c_1+c_{2}k\right)a_1=0\\ \left(c_1+c_{2}k\right)a_2=0\\ \\ c_1+c_{2}k=0\\ c_1=-c_{2}k\\ \\ c_2=1\\ c_1=-k\\ \\ -ka+1b=0\end{array}$

     よって、a、bは1次従属である。

   • $a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0$ のとき。

     $\begin{array}{l}{c}_{1}a+c_{2}b=0\\ \\ c_1\left(a_1,a_2\right)+c_2\left(b_1,b_2\right)=\left(0,0\right)\\ \left(c_1{a}_1+c_2{b}_2,c_1{a}_2+c_2{b}_2\right)=\left(0,0\right)\\ \\ c_1{a}_1+c_2{b}_1=0\\ c_1{a}_2+c_2{b}_2=0\\ \\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\ne 0\\ a_1{b}_2\ne a_2{b}_1\\ a_1:a_2\ne b_1:b_2\\ \\ k{a}_1=b_1\\ k{a}_2\ne b_2\\ \\ c_1{a}_1+c_{2}k{a}_1=0\\ c_1{a}_2+c_2{b}_2=0\\ \\ \left(c_1+c_{2}k\right)a_1=0\\ \\ c_1+c_{2}k=0\\ c_1=-c_{2}k\\ \\ -c_{2}k{a}_2+c_2{b}_2=0\\ c_2\left(b_2-k{a}_2\right)=0\\ b_2\ne k{a}_2\\ b_2-k{a}_2\ne 0\\ c_2=0\\ c_1=0\end{array}$

     よってa、bは1次独立である。