数学 - 解析学 - 微分と基本的な関数 - 曲線をえがくこと - 凸関数(強い意味で上に凸、十分条件)

解析入門 原書第3版
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、3(凸関数)、練習問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   2点(a, f(a))、(b, g(b))を結ぶ線分と区間[a, b]におけるfの曲線との差の関数を次のようにおく。

   $\begin{array}{l}\phi \left(x\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)-f\left(x\right)\\ \phi \text{'}\left(x\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}-f\left(x\right)\end{array}$

   平均値の定理を用いる。

   $\begin{array}{l}\phi \left(x\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)-f\left(x\right)\\ \phi \text{'}\left(x\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}-f\left(x\right)\\ \\ a<c<b\\ f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\\ \phi \text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(c\right)-f\left(x\right)\\ \\ a<x\le c\\ \\ a<d<c\\ \frac{f\text{'}\left(c\right)-f\text{'}\left(x\right)}{c-x}=f\text{'}\text{'}\left(d\right)\\ f\text{'}\left(c\right)-f\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\text{'}\left(d\right)\left(c-x\right)\\ f\text{'}\text{'}\left(d\right)<0\\ \\ a<x<c\\ c-x>0\\ \phi \text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(c\right)-f\text{'}\left(x\right)<0\\ \phi \text{'}\left(x\right)<0\\ \phi \left(a\right)=0\\ \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)-f\left(x\right)<0\\ \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)<f\left(x\right)\\ \\ c<x<b\\ c<e<x\\ f\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(c\right)=f\text{'}\text{'}\left(e\right)\left(x-c\right)\\ f\text{'}\text{'}\left(e\right)<0\\ x-c>0\\ f\text{'}\left(x\right)-f\text{'}\left(c\right)<0\\ -\phi \text{'}\left(x\right)<0\\ \phi \text{'}\left(x\right)>0\\ \phi \left(b\right)=0\\ \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)-f\left(x\right)<0\\ \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)<f\left(x\right)\\ \\ a<x<b\\ \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)+f\left(a\right)<f\left(x\right)\end{array}$

   よって曲線 y = f(x) は区間[a, b]において強い意味で上に凸である。