数学 - 解析学 - 関数列と関数級数 - 一様収束(一様有界)

解析入門〈2〉

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   

   関数列はE上で有界。

   $\left|f_n\right|\le M_n$

   関数列がEで一様収束すると仮定。

   εを任意の正の実数とすると、ある自然数Nが存在して、N以上の自然数m、nに対して、全てのxにおいて次のことが成り立つ。

   $\left|f_m\left(x\right)-f_n\left(x\right)\right|<ϵ$

   上記で m = N とする。

   $\begin{array}{l}\left|f_N\left(x\right)-f_n\left(x\right)\right|<ϵ\\ \left|f_n\left(x\right)\right|-\left|f_N\left(x\right)\right|\le \left|f_N\left(x\right)-f_n\left(x\right)\right|<ϵ\\ \left|f_n\left(x\right)\right|<\left|f_N\left(x\right)\right|+ϵ\end{array}$

   $M=\max \left\{M_1,\cdots ,M_n,\left|f_N\left(x\right)\right|+ϵ\right\}$ とすれば、全ての自然数nおよび全ての$x\in E$ に対して次のことが成り立つ。

   $\left|f_n\left(x\right)\right|\le M$