数学 - Python - 解析学 - 関数列と関数級数 - 複素整級数(指数関数・三角関数再論)(複素変数の指数関数を三角関数(正弦、余弦)で表現する)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.3(複素整級数(指数関数・三角関数再論))、問題1.を取り組んでみる。

1. • 
     $\begin{array}{l}{e}^{\frac{\pi i}{2}}=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\\ =i\end{array}$
   • 
     $\begin{array}{l}{e}^{-\pi i}=\cos \left(-\pi \right)+i\sin \left(-\pi \right)\\ =-1\end{array}$
   • 
     $\begin{array}{l}{e}^{\frac{3}{4}\pi i}=\cos \frac{3}{4}\pi +i\sin \frac{3}{4}\pi \\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\end{array}$
   • 
     $\begin{array}{l}{e}^{-\frac{\pi i}{3}}=\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\\ =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, exp, pi, Rational, I

print('1.')
xs = [Rational(1, 2) * pi * I,
      -pi * 1j,
      Rational(3, 4) * pi * I,
      -Rational(1, 3) * pi * I]

for x in xs:
    pprint(exp(x).as_real_imag())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample1.py
1.
(0, 1)
(-1, 0)
⎛-√2   √2⎞
⎜────, ──⎟
⎝ 2    2 ⎠
⎛     -√3 ⎞
⎜1/2, ────⎟
⎝      2  ⎠
$