数学 - 線型代数 - ベクトル空間 - 1次従属と1次独立(R上のベクトル空間、1次従属になる場合)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、6(1次従属と1次独立)、問4.を取り組んでみる。

4. 
   $\begin{array}{l}{c}_1\left(u+av\right)+c_2\left(v+aw\right)+c_3\left(w+au\right)=0\\ \left(c_1+c_{3}a\right)u+\left(c_{1}a+c_2\right)v+\left(c_{2}a+c_3\right)w=0\end{array}$

   u、v、wは1次独立なので次のことが成り立つ。

   $\begin{array}{l}{c}_1+c_{3}a=0\\ c_{1}a+c_2=0\\ c_{2}a+c_3=0\\ \\ c_2=-c_{1}a\\ c_3=-c_{2}a=c_1{a}^2\\ \\ c_1+c_1{a}^3=0\\ c_1\left(1+a^3\right)=0\end{array}$

   a = -1のとき。

   $c_1·0=0$

   よって、問題のベクトルが1次従属となる場合がある。

   $a\ne -1のとき。$

   $\begin{array}{l}1+a^3\ne 0\\ c_1=0\\ c_2=0\\ c_3=0\end{array}$

   よって問題のベクトルは1次独立である。