数学 - 線型代数 - ベクトル空間 - 部分空間の次元(部分空間の共通部分、和、部分群、次元、関係性)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、9(部分空間の次元)、問2.を取り組んでみる。

2. 
   

   定理2.16より。

   $\begin{array}{l}\dim \left(U\cap W\right)+\dim \left(U+W\right)=n+k\left(k\ge 1\right)\\ \dim \left(U\cap W\right)=n+k-\dim \left(U+W\right)\\ \dim \left(U+W\right)\le n\\ \dim \left(U\cap W\right)\\ =n+k-\dim \left(U+W\right)\\ \ge n+k-n\\ =k\end{array}$

   よって、UとWの共通部分のなす部分空間の次元は1以上。

   ゆえに、UとWは0以外の元を共有する。