数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係(部分集合の像や逆像、和集合、共通部分、包含関係、等号、単射)

学習環境

解析入門〈3〉(松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題2、3.を取り組んでみる。

1. xを集合Xの任意の元とする。
  $\begin{array}{l} x \in f^{- 1} (\underset{j \in J}{\cup} B_{j}) \\ \Leftrightarrow \exists y \in \underset{j \in J}{\cup} B_{j} [f (x) = y] \\ \Leftrightarrow \exists y \exists j \in J [y \in B_{j} \land f (x) = y] \\ \Leftrightarrow \exists j \in J \exists y [y \in B_{j} \land f (x) = y] \\ \Leftrightarrow \exists j \in J [f (x) \in B_{j}] \\ \Leftrightarrow \exists j \in J [x \in f^{- 1} (B_{j})] \\ \Leftrightarrow x \in f^{- 1} (\underset{j \in J}{\cup} B_{j}) \end{array}$
yを集合Yの任意の元とする。
$\begin{array}{l} y \in F (\underset{i \in I}{\cap} A_{i}) \\ \Leftrightarrow \exists x [x \in \underset{i \in I}{\cap} A_{i} \land y = f (x)] \\ \Leftrightarrow \exists x \forall i \in I [x \in A_{i} \land y = f (x)] \\ \Rightarrow \forall i \in I \exists x [x \in A_{i} \land y = f (x)] \\ \Leftrightarrow \forall i \in I [y \in F (A_{i})] \\ y \in \underset{i \in I}{\cap} F (A_{i}) \\ F (\underset{i \in I}{\cap} A_{i}) \subset \underset{i \in I}{\cap} F (A_{i}) \end{array}$
よって、問題の包含関係が成り立つ。

写像fが単射の場合。
$\begin{array}{l} \forall i \in I \exists x [x \in A_{i} \land y = f (x)] \\ \Rightarrow \forall i \in I \exists 1 x [x \in A_{i} \land y = f (x)] \\ \Rightarrow \exists 1 x \forall i \in I [x \in A_{i} \land y = f (x)] \\ \Rightarrow \exists x \forall i \in I [x \in A_{i} \land y = f (x)] \end{array}$
よって等号が成り立つ。

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