数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係(包含関係、差集合、補集合、単射、等号、部分集合の像)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
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• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   

   yを集合Yの元とする。

   $\begin{array}{l}y\in f\left(A\text{'}\right)-f\left(A\right)\\ \iff y\in f\left(A\text{'}\right)\cap f{\left(A\right)}^c\\ \Rightarrow \exists x\in X\left[f\left(x\right)=y\wedge x\in A\text{'}\wedge x\in A^c\right]\\ \iff \exists x\in X\left[f\left(x\right)=y\wedge x\in A\text{'}\cap A^c\right]\\ \iff \exists x\in X\left[f\left(x\right)=y\wedge x\in A\text{'}-A\right]\\ \iff y\in f\left(A\text{'}-A\right)\\ \\ f\left(A\text{'}\right)-f\left(A\right)\subset f\left(A\text{'}-A\right)\end{array}$

   fが単射の場合。

   $\begin{array}{l}\exists x\in X\left[f\left(x\right)=y\wedge x\in A\text{'}\wedge x\in A^c\right]\\ \Rightarrow \exists 1x\in X\left[f\left(x\right)=y\wedge x\in A\text{'}\wedge x\in A^c\right]\\ \Rightarrow y\in f\left(A\text{'}\right)\cap f{\left(A\right)}^c\end{array}$

   よって等号が成り立つ。