数学 - 線型代数 - 線型写像 - 写像(II)(合成写像、全射と単射)

線型代数入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、2(写像(II))、問題3.を取り組んでみる。

3. 1. 
      

      tを任意のTの元とする。

      合成写像 g ○ f は全射なので(g ○ f)(r) = t を満たすRの元rが存在する。

      よってg(f(r)) = t 隣、f(r)はSの元なので、写像gは全射である。

   2. 
      

      r_1、r_2をRの任意の元とする。

      f(r_1) = f(r_2) とする。

      合成写像 g ○ fが単射とすると、(g ○ f)(r_1) = (g ○ f)(r_2)、ならば r_1 = r_2。

      よって合成写像 g ○ fが単射とすると、g(f(r_1)) = g(f(r_2))、ならば r_1 = r_2。

      f(r_1) = f(r_2) という仮定より、g(f(r_1)) = g(f(r_2))。

      よってr_1 = r_2。

      ゆえに、fは単射である。