数学 - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間(異なる3点が同一直線上にあるための必要十分条件)

学習環境

解析入門〈2〉(松坂和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題2.を取り組んでみる。

- a、b、cが同一直線上にある場合。
  $\begin{array}{l} c = a + t (b - a) \\ = (1 - t) a + t b \\ α a + β b + (1 - t) a + t b \\ = (1 + α - t) a + (β + t) b \\ 1 + α - t = 0 \\ β + t = 0 \\ β = - t \\ α = t - 1 \\ (t - 1) a - t b + c = 0 \\ α + β + γ \\ = t - 1 - t + 1 \\ = 0 \end{array}$
- 問題の条件を満たすα、β、γが存在するとする。
  $\begin{array}{l} γ = - (α + β) \\ α a + β b - (α + β) c = 0 \\ c = \frac{α a + β b}{α + β} \\ = \frac{(α + β) a - β a + β b}{α + β} \\ = a + \frac{β}{α + β} (b - a) \end{array}$
  よって、a、b、cは同一直線上にある。

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