数学 - 解析学 - n次元空間 - ユークリッド空間(異なる3点が同一直線上にあるための必要十分条件)

解析入門〈2〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(n次元空間)、10.1(ユークリッド空間)、問題2.を取り組んでみる。

2. • a、b、cが同一直線上にある場合。

     $\begin{array}{l}c=a+t\left(b-a\right)\\ =\left(1-t\right)a+tb\\ \\ \alpha a+\beta b+\left(1-t\right)a+tb\\ =\left(1+\alpha -t\right)a+\left(\beta +t\right)b\\ 1+\alpha -t=0\\ \beta +t=0\\ \beta =-t\\ \alpha =t-1\\ \\ \left(t-1\right)a-tb+c=0\\ \alpha +\beta +\gamma \\ =t-1-t+1\\ =0\end{array}$

   • 問題の条件を満たすα、β、γが存在するとする。

     $\begin{array}{l}\gamma =-\left(\alpha +\beta \right)\\ \alpha a+\beta b-\left(\alpha +\beta \right)c=0\\ c=\frac{\alpha a+\beta b}{\alpha +\beta }\\ =\frac{\left(\alpha +\beta \right)a-\beta a+\beta b}{\alpha +\beta }\\ =a+\frac{\beta }{\alpha +\beta }\left(b-a\right)\end{array}$

     よって、a、b、cは同一直線上にある。