数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – スカラー積(スカラー積の4つの性質、定義、連続関数、定積分)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、3(スカラー積)、練習問題5.を取り組んでみる。

5. 1. 
      $\begin{array}{l}<f,g>\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}g\left(x\right)f\left(x\right)dx}\\ =<g,f>\end{array}$
   2. 
      $\begin{array}{l}<f,g+h>\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)\left(g\left(x\right)+h\left(x\right)\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^1\left(f\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)h\left(x\right)\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx}+{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)h\left(x\right)dx}\\ =<f,g>+<f,h>\end{array}$
   3. 
      $\begin{array}{l}<cf,g>\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}cf\left(x\right)g\left(x\right)dx}\\ =c{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)g\left(x\right)dx}\\ =c<f,g>\end{array}$
   4. 
      $\begin{array}{l}f=0\\ \Rightarrow \\ <f,f>\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)f\left(x\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}0·0dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}0dx}\\ =0\\ \\ f\ne 0\\ \Rightarrow \\ <f,f>\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)f\left(x\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f{\left(x\right)}^{2}dx}\\ >0\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Integral

x = symbols('x')
f = x ** 2
g = x ** 3
h = x ** 4


def mul(f, g):
    return Integral(f * g, (x, -1, 1))

print('SP1')
print(mul(f, g) == mul(g, f))

print('SP2')
print(mul(f, g + h).doit() == (mul(f, g) + mul(f, h)).doit())

print('SP3')
c = symbols('c')
print(mul(c * f, g).doit() == c * mul(f, g).doit())

print('SP4')
print(mul(f, f) > 0)

f = 0
print(mul(f, f).doit() == 0)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
SP1
True
SP2
True
SP3
True
SP4
True
True
$