数学 - 集合論 - 集合算 - 写像(冪集合、写像の集合、1対1対応(全単射))

集合論入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.6(写像)の練習問題8.を取り組んでみる。

8. 
   

   空集合とXの対応を考えてみる。

   $\begin{array}{l}f:\mathfrak{P}\left(X\right)\to Y^X\\ Y^X=Map\left(X,Y\right)\\ \\ \varphi ,X\in \mathfrak{P}\left(X\right)\\ f_1,f_2\in Y^X=Map\left(X,Y\right)\\ \\ f_1:X\to Y\\ f_1\left(X\right)=\left\{1\right\}\\ f\left(\varphi \right)=f_1\\ \\ f_2:X\to Y\\ f_2\left(X\right)=\left\{0\right\}\\ f\left(X\right)=f_1\end{array}$

   集合Xの部分集合Aに対し、fn(A) = {0}、fn(X-A)={1}となる写像fnを対応させれば、Xの冪集合からXからYへの写像全部の集合への1対1対応(全単射)となる。

   さらに具体的に、X = {a, b, c}、Y = {0, 1}として、すべての対応を考える。

   $\begin{array}{l}\mathfrak{P}\left(X\right)\\ =\mathfrak{P}\left(\left\{a,b,c\right\}\right)\\ =\left\{\varphi ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},\left\{c\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b,c\right\},\left\{c,a\right\},\left\{a,b,c\right\}\right\}\\ \\ f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7,f_8\in Hom\left(X,Y\right)\\ \\ f_1\left(\varphi \right)=\left\{0\right\}\\ f_1\left(\left\{a,b,c\right\}\right)=\left\{1\right\}\\ \\ f_2\left(\left\{a\right\}\right)=\left\{0\right\}\\ f_2\left(\left\{b,c\right\}\right)=\left\{1\right\}\\ \\ f_3\left(\left\{b\right\}\right)=\left\{0\right\}\\ f_3\left(\left\{a,c\right\}\right)=\left\{1\right\}\\ \\ f_4\left(\left\{c\right\}\right)=\left\{0\right\}\\ f_4\left(\left\{a,b\right\}\right)=\left\{1\right\}\\ \\ f_5\left(\left\{a,b\right\}\right)=\left\{0\right\}\\ f_5\left(\left\{c\right\}\right)=\left\{1\right\}\\ \\ f_6\left(\left\{b,c\right\}\right)=\left\{0\right\}\\ f_6\left(\left\{a\right\}\right)=\left\{1\right\}\\ \\ f_7\left(\left\{a,c\right\}\right)=\left\{0\right\}\\ f_7\left(\left\{b\right\}\right)=\left\{1\right\}\\ \\ f_8\left(\left\{a,b,c\right\}\right)=\left\{0\right\}\\ f_8\left(\varphi \right)=\left\{1\right\}\\ \\ f:\mathfrak{P}\left(X\right)\to Hom\left(X,Y\right)\\ f\left(\varphi \right)=f_1\\ f\left(\left\{a\right\}\right)=f_2\\ f\left(\left\{b\right\}\right)=f_3\\ f\left(\left\{c\right\}\right)=f_4\\ f\left(\left\{a,b\right\}\right)=f_5\\ f\left(\left\{b,c\right\}\right)=f_6\\ f\left(\left\{c,a\right\}\right)=f_7\\ f\left(\left\{a,b,c\right\}\right)=f_8\end{array}$