数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(普遍集合、2つの部分集合と特徴関数(定義関数)、包含関係、等式)

集合・位相入門

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参考書籍

集合・位相入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題15を取り組んでみる。

χA(x)≤χB(x)
上記のことが成り立つとする。

aを集合Aの任意の元とする。
χA(x)≤χB(x)χA(a)=11≤χB(a)χb(a)=1
よって、aは集合Bの元なので A ⊂ B が成り立つ。

A ⊂ B と仮定する。

xを普遍集合Xの任意の元とする。

xが集合Aの元であるとき、xは集合Bの元でもある。よって、次のことが成り立つ。
χA(x)=1χB(x)=1χA(x)=χB(x)χA(x)≤χB(x)
xが集合Aの補集合の元であるとき、次のことが成り立つ。
χA(x)=0χB(x)≥0χA(x)≤χB(x)
以上より、次のことが成り立つ。
χA(x)≤χB(x)
1. xが集合A、Bの共通部分であるとき。
  $\begin{array}{l} χ_{A \cap B} (x) = 1 \\ χ_{A} (x) = 1 \\ χ_{B} (x) = 1 \\ χ_{A \cap B} (x) = χ_{A} (x) χ_{B} (x) \end{array}$
  共通部分ではない場合。
  $\begin{array}{l} χ_{A \cap B} (x) = 0 \\ x \notin A \lor x \notin B \\ \Leftrightarrow χ_{A} (x) = 0 \lor χ_{B} (x) = 0 \\ χ_{A} (x) χ_{B} (x) = 0 \\ χ_{A \cap B} (x) = χ_{A} (x) χ_{B} (x) \end{array}$
2. $\begin{array}{l} x \in A \cup B \\ χ_{A \cup B} (x) = 1 \\ x \in A \cap B \\ χ_{A} (x) = χ_{B} (x) = 1 \\ χ_{A \cap B} (x) = 1 \\ χ_{A} (x) + χ_{B} (x) - χ_{B} (x) \\ = 1 + 1 - 1 \\ = 1 \\ χ_{A \cup B} (x) = χ_{A} (x) + χ_{B} (x) - χ_{B} (x) \\ x \notin A \cup B \\ χ_{A \cup B} (x) = 0 \\ x \notin A \land x \notin B \\ χ_{A} (x) = χ_{B} (x) = χ_{A \cap B} (x) = 0 \\ χ_{A} (x) + χ_{B} (x) - χ_{B} (x) = 0 \\ χ_{A \cup B} (x) = χ_{A} (x) + χ_{B} (x) - χ_{B} (x) \end{array}$
3. $\begin{array}{l} x \in A \\ χ_{A^{c}} (x) = 0 \\ χ_{A} (x) = 1 \\ 1 - χ_{A} (x) \\ = 1 - 1 \\ = 0 \\ χ_{A^{c}} (x) = χ_{A^{c}} (x) \\ x \notin A \\ χ_{A^{c}} (x) = 1 \\ χ_{A} (x) = 0 \\ 1 - χ_{A} (x) \\ = 1 - 0 \\ = 1 \\ χ_{A^{c}} (x) = χ_{A^{c}} (x) \end{array}$
4. (a)、(c)を利用。
  $\begin{array}{l} χ_{A - B} (x) \\ = χ_{A \cap B^{c}} (x) \\ = χ_{A} (x) χ_{B^{c}} (x) \\ = χ_{A} (x) (1 - χ_{B} (x)) \end{array}$
5. $\begin{array}{l} A Δ B \\ = (A \cup B) - (A \cap B) \\ χ_{A Δ B} (x) \\ = χ_{(A \cup B) - (A \cap B)} (x) \\ = χ_{A \cup B} (x) (1 - χ_{A \cap B} (x)) \\ x \in A \cap B \\ χ_{A \cup B} (x) (1 - χ_{A \cap B} (x)) \\ = χ_{A \cup B} (x) (1 - 1) \\ = 0 \\ χ_{A} (x) = 1 \\ χ_{B} (x) = 1 \\ | χ_{A} (x) - χ_{B} (x) | \\ = | 1 - 1 | \\ = 0 \\ χ_{A Δ B} (x) = | χ_{A} (x) - χ_{B} (x) | \\ x \in A \\ χ_{A \cup B} (x) (1 - χ_{A \cap B} (x)) \\ = 1 (1 - 0) \\ = 1 \\ | χ_{A} (x) - χ_{B} (x) | \\ = | 1 - 0 | \\ = 1 \\ χ_{A Δ B} (x) = | χ_{A} (x) - χ_{B} (x) | \\ x \in B \\ χ_{A \cup B} (x) (1 - χ_{A \cap B} (x)) \\ = 1 (1 - 0) \\ = 1 \\ | χ_{A} (x) - χ_{B} (x) | \\ = | 0 - 1 | \\ = 1 \\ χ_{A Δ B} (x) = | χ_{A} (x) - χ_{B} (x) | \\ x \notin A \cup B \\ χ_{A \cup B} (x) (1 - χ_{A \cap B} (x)) \\ = 0 \\ | χ_{A} (x) - χ_{B} (x) | \\ = | 0 - 0 | \\ = 0 \\ χ_{A Δ B} (x) = | χ_{A} (x) - χ_{B} (x) | \end{array}$

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2017年10月19日木曜日

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