数学 - 線型代数 - 線型写像 - 同型写像(同型写像の定義、同型写像の逆写像)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、5(同型写像)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   $\begin{array}{l}{F}^{-1}\left(w_1+w_2\right)\\ \\ F\left(v_1\right)=w_1\\ F\left(v_2\right)=w_2\\ \\ F^{-1}\left(F\left(v_1\right)+F\left(v_2\right)\right)\\ =F^{-1}\left(F\left(v_1+v_2\right)\right)\\ =\left(F^{-1}\circ F\right)\left(v_1+v_2\right)\\ =I_V\left(v_1+v_2\right)\\ =I_V\left(v_1\right)+I_V\left(v_2\right)\\ =\left(F^{-1}\circ F\right)\left(v_1\right)+\left(F^{-1}\circ F\right)\left(v_2\right)\\ =F^{-1}\left(F\left(v_1\right)\right)+F^{-1}\left(F\left(v_2\right)\right)\\ =F^{-1}\left(w_1\right)+F^{-1}\left(w_2\right)\\ \\ \\ F^{-1}\left(cw\right)\\ \\ F\left(v\right)=w\\ cF\left(v\right)=cw\\ F\left(cv\right)=cw\\ F^{-1}\left(F\left(cv\right)\right)\\ =\left(F^{-1}\circ F\right)\left(cv\right)\\ =I_V\left(cv\right)\\ =c{I}_V\left(v\right)\\ =c\left(F^{-1}\circ F\right)\left(v\right)\\ =c{F}^{-1}\left(F\left(v\right)\right)\\ =c{F}^{-1}\left(w\right)\end{array}$

   よって、Fの逆写像は全単射で、線型写像である。

   ゆえに、Fが同型写像なら、その逆写像も同型写像である。