数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(差集合、逆像、等号、全単射、逆写像、合成写像、恒等写像)

集合・位相入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題6、7を取り組んでみる。

6. 
   

   aを始集合Aの任意の元とする。

   $\begin{array}{l}a\in f^{-1}\left(B-Q\right)\\ \iff f\left(a\right)\in B-Q\\ \iff f\left(a\right)\in B\wedge f\left(a\right)\notin Q\\ \iff a\in B\wedge a\notin f^{-1}\left(Q\right)\\ \iff a\in B-f^{-1}\left(Q\right)\end{array}$
7. 2. 
      $\begin{array}{l}f\circ I_A:A\to B\\ a\in A\\ \left(f\circ I_A\right)\left(a\right)\\ =f\left(I_A\left(a\right)\right)\\ =f\left(a\right)\\ \\ I_b\circ f:A\to B\\ a\in A\\ \left(I_B\circ f\right)\left(a\right)\\ =I_B\left(f\left(a\right)\right)\\ =f\left(a\right)\end{array}$
   3. 
      $f^{-1}\circ f:A\to A$

      aを集合Aの任意の元とする。

      $\begin{array}{l}\left(f^{-1}\circ f\right)\left(a\right)\\ =f^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\\ =a\\ \\ f^{-1}\circ f=I_A\end{array}$

      bを集合Bの任意の元とする。

      $\begin{array}{l}f\circ f^{-1}:B\to B\\ \\ \left(f\circ f^{-1}\right)\left(b\right)\\ =f\left(f^{-1}\left(b\right)\right)\\ =b\\ \\ f\circ f^{-1}=I_B\end{array}$