数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(全単射、逆写像、合成写像、像、逆像)

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集合・位相入門 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題8、9を取り組んでみる。

cを集合Cの任意の元とする。

そのとき、集合Aのただ1つの元aが存在して次のことが成り立つ。
${(g \circ f)}^{- 1} (c) = a$
b = f(a)とおく。
$\begin{array}{l} g (b) = c \\ (f^{- 1} \circ g^{- 1}) (c) \\ = f^{- 1} (g^{- 1} (c)) \\ = f^{- 1} (b) \\ = a \end{array}$
よって、問題のことが成り立つ。
${(g \circ f)}^{- 1} = f^{- 1} \circ g^{- 1}$
1. cを集合Cの任意の元とする。
  $\begin{array}{l} c \in (g \circ f) (P) \\ \Leftrightarrow c \in g (f (P)) \\ (g \circ f) (P) = g (f (P)) \end{array}$
2. aを集合Aの任意の元とする。
  $\begin{array}{l} a \in {(g \circ f)}^{- 1} (R) \\ \Leftrightarrow (g \circ f) (a) \in R \\ \Leftrightarrow g (f (a)) \in R \\ \Leftrightarrow f (a) \in g^{- 1} (R) \\ \Leftrightarrow a \in f^{- 1} (g^{- 1} (R)) \\ {(g \circ f)}^{- 1} (R) = f^{- 1} (g^{- 1} (R)) \end{array}$

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