数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(合成写像と各写像の全射、単射について)

集合・位相入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題11、12、13を取り組んでみる。

11. 
    

    bを集合Bの任意の元とする。

    写像fは全射なので、ある集合Aの元aが存在して、f(a) = b が成り立つ。

    また、問題の2つの合成写像が等しいことから次のことが成り立つ。

    $\begin{array}{l}\left(g\circ f\right)\left(a\right)=\left(g\text{'}\circ f\right)\left(a\right)\\ g\left(f\left(a\right)\right)=g\text{'}\left(f\left(a\right)\right)\end{array}$

    よって、g(b) = g'(b)gあ成り立つので、g = g'となる。

12. 
    

    aを集合Aの任意の元とする。

    また、問題の2つの合成写像が等しいことから次のことが成り立つ。

    $\begin{array}{l}\left(g\circ f\right)\left(a\right)=\left(g\circ f\text{'}\right)\left(a\right)\\ g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(f\text{'}\left(a\right)\right)\end{array}$

    ここで、gは単射だから、f(a) = f'(a)となるので、f = f'がである。

13. 1. 
       

       bを集合Bの任意の元とする。

       c = g(b)とおく。

       合成写像は全射なので、集合Aのある元aが存在して次のことが成り立つ。

       $\begin{array}{l}\left(g\circ f\right)\left(a\right)=c\\ g\left(f\left(a\right)\right)=c\\ g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(b\right)\end{array}$

       また、gは単射なので f(a) = b が成り立つので、fは全射である。

    2. 
       

       b、b'を集合Bの任意の元とする。

       g(b) = g(b')と仮定する。

       fは全射なので、集合Aのある元a、a'が存在して、f(a) = b、f(a') = b'が成り立つ。

       このとき、次のことが成り立つ。

       $\begin{array}{l}g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(b\right),g\left(f\left(a\text{'}\right)\right)=g\left(b\text{'}\right)\\ g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(f\left(a\text{'}\right)\right)\\ \left(g\circ f\right)\left(a\right)=\left(g\circ f\right)\left(a\text{'}\right)\end{array}$

       合成写像は単射なので、a = a'が成り立つ。

       よって、f(a) = f'(a)、すなわち b = b'となり、写像gは単射である。