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2017年10月19日木曜日


線型代数入門

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、8(線型写像の空間)、問題1、2.を取り組んでみる。


  1. (cF)(v+w)=cF(v+w)=c(F(v)+F(w))=cF(v)+cF(w)=(cF(v))+(cF)(w)

    1. 加法について。


      1. (F+(G+H))(v)=F(v)+(G+H)(v)=F(v)+(G(v)+H(v))=(F(v)+G(v))+H(v)=(F+G)(v)+H(v)=((F+G)+H)(v)F+(G+H)=(F+G)+H

      2. F,G,H∈L(V,W)v∈V(F+G)(v)=F(v)+G(v)=G(v)+F(v)=(G+F)(v)F+G=G+F

      3. Zをベクトルう空間Vからベクトル空間Wへの写像とし、Vの任意の元に対してZ(v) = 0(Wの零ベクトル)とする。

        和について。

        v,v'∈VZ(v+v')=0=0+0=Z(v)+Z(v')

        スカラー倍について。

        c∈ℝ,v∈VZ(cv)=0=c0=cZ(v)

        よって、Zは線型写像なので、L(V, W)の元となる。

        このZについて。

        F∈L(V,W)v∈V(F+Z)(v)=F(v)+Z(z)=F(v)F+Z=F

      4. 写像FをL(V, W)の任意の元とする。

        v∈V (F+(−F))(v) =F(v)+(−F)(v) =F(v)−F(v) =0

    2. スカラー倍について。


      1. c∈ℝ F,G∈L(V,W) v∈V c(F+G)(v) =c(F(v)+G(v)) =cF(v)+cG(v) =(cF)(v)+(cG)(v) =(cF+cG)(v) c(F+G)=cF+cG

      2. c 1 , c 2 ∈ℝ F∈L(V,W) v∈V (( c 1 + c 2 )F)(v) =( c 1 + c 2 )F(v) = c 1 F(v)+ c 2 F(v) =( c 1 F)(v)+( c 2 F)(v) =( c 1 F+ c 2 F)(v) ( c 1 + c 2 )F= c 1 F+ c 2 F

      3. ( c 1 c 2 )F(v) =( c 1 c 2 F)(v) = c 1 ( c 2 F)(v) ( c 1 c 2 )F= c 1 ( c 2 F)

      4. (1F)(v) =1F(v) =F(v) 1F=F
時刻: 13:00 ラベル: ,

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