数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係(冪集合、像と逆像による写像、全射と単射)

解析入門〈3〉

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   $\begin{array}{l}A\in \mathfrak{P}\left(X\right)\\ \\ A\subset f^{*}\left(f_{*}\left(A\right)\right)\\ \\ x\in f^{*}\left(f_{*}\left(A\right)\right)\\ f\left(x\right)\in f_{*}\left(A\right)\end{array}$

   集合Aのある元x0が存在してf(x) = f(x0)が成り立つ。

   fは単射なので、x = x0。

   $\begin{array}{l}x=x\text{'}\in A\\ x\in A\end{array}$

   よって次のことが成り立つ。

   $f^{*}\left(f_{*}\left(A\right)\right)\subset A$

   ゆえに、次のことが成り立つ。

   $f^{*}\left(f_{*}\left(A\right)\right)=A$

   像による写像が単射なことについて。

   $\begin{array}{l}{X}_1,X_2\in \mathfrak{P}\left(X\right)\\ f_{*}\left(X_1\right)=f_{*}\left(X_2\right)\\ \Rightarrow f^{*}\left(f_{*}\left(X_1\right)\right)=f^{*}\left(f_{*}\left(X_2\right)\right)\\ \Rightarrow X_1=X_2\end{array}$

   逆像による写像が全射なことについて。

   $\begin{array}{l}{X}_0\in \mathfrak{P}\left(X\right)\\ \\ f^{*}\left(f_{*}\left(X_0\right)\right)=X_0\\ f_{*}\left(X_0\right)\in \mathfrak{P}\left(Y\right)\end{array}$