数学 - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の像と核(ベクトル空間、部分空間の像)

線型代数入門

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題1.を取り組んでみる。

1. 1. 
      $\begin{array}{l}0\in V_1\\ F\left(0\right)\\ =F\left(0+0\right)\\ =F\left(0\right)+F\left(0\right)\\ \\ 0=F\left(0\right)\\ \\ 0\in F\left(V_1\right)\end{array}$

      よって、線型写像FによるV1の像は、Wの零ベクトルを含む。

   2. w1、w2をF(V1)の任意の元とする。

      あるベクトル空間V1の元v1、v2が存在して、F(v1) = w1、F(v2) = w2が成り立つ。

      w1 + w2 = F(v1) + F(v2) = F(v1 + v2)が成り立つ。

      v1 + v2はベクトル空間V1の元なので、w1 + w2 はF(V1)の元となる。

      よって、F(V1)は和について閉じている。

   3. wをF(v1)nお任意の元とする。

      あるV1の元vが存在して、F(v) = wが成り立つ。

      スカラー倍について、cw = cF(v) = F(cv)が成り立つ。

      cvはV1の元なので、cwはF(V1)の元である。

      よって、像F(V1)はスカラー倍について閉じている。

   以上より、F(V1)はWの部分空間である。(証明終)