数学 - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の像と核(ベクトル空間、部分空間の逆像)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題2.を取り組んでみる。

2. 1. 
      $\begin{array}{l}F\left(0\right)=F\left(0+0\right)\\ =F\left(0\right)+F\left(0\right)\\ F\left(0\right)=0\in W_1\\ 0\in F^{-1}\left(W_1\right)\end{array}$

      よって、線型写像FによるW1の逆像は、Vの零ベクトルを含む。

   2. v1、v2を線型写像FによるW1の逆像の任意の元とする。

      $\begin{array}{l}F\left(v_1\right),F\left(v_2\right)\in W_1\\ F\left(v_1+v_2\right)\\ =F\left(v_1\right)+F\left(v_2\right)\in W_1\end{array}$

      よって、v1 + v2は逆像に含まれる。

   3. vを逆像の任意の元とする。

      $\begin{array}{l}F\left(cv\right)\\ =cF\left(v\right)\in W_1\end{array}$

      よって、スカラー倍cvは逆像に含まれる。

   以上より、線型写像FによるW1の逆像はベクトル空間Vの部分空間である。(証明終)