数学 - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の像と核(定義域と終域のベクトル空間が異次元の場合(同次元ではない場合)、合成写像、全単射、逆写像、同型写像)

線型代数入門

学習環境

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参考書籍

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題6.を取り組んでみる。

dim V < dim Wとする。

ベクトル空間V、Wの基底。
$\begin{array}{l} {v_{1}, \dots, v_{n}} \\ {w_{1}, \dots, w_{m}} \\ n < m \end{array}$
FをVからWへの写像。
$\begin{array}{l} F : V \to W \\ F (v_{k}) = w_{k} (k = 1, \dots, n) \\ v \in V \\ v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} \\ F (v) = x_{1} w_{1} + \dots + x_{n} w_{n} \end{array}$
Fの線型性について。
$\begin{array}{l} a, b \in V \\ a = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} \\ b = b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n} \\ F (a + b) \\ = F ((a_{1} + b_{1}) v_{1} + \dots + (a_{n} + b_{n}) v_{n}) \\ = (a_{1} + b_{1}) w_{1} + \dots + (a_{n} + b_{n}) w_{n} \\ = a_{1} w_{1} + \dots + a_{n} w_{n} + b_{1} w_{1} + \dots + b_{n} w_{n} \\ = F (a) + F (b) \\ F (c a) \\ = F ((c a_{1}) v_{1} + \dots + (c a_{n}) v_{n}) \\ = (c a_{1}) w_{1} + \dots + (c a_{n}) w_{n} \\ = c (a_{1} w_{1}) + \dots + c (a_{n}) w_{n} \\ = c (a_{1} w_{1} + \dots + a_{n} w_{n}) \\ = c F (a) \end{array}$
よって、Fは線型写像。

GをWからVへの写像。
$\begin{array}{l} G : W \to V \\ G (w_{k}) = v_{k} (k = 1, \dots, n) \\ G (w_{k}) = 0 (k = n + 1, \dots, m) \\ w \in W \\ w = x_{1} w_{1} + \dots + x_{m} w_{m} \\ G (w) = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} \end{array}$
Gの線型性について。
$\begin{array}{l} a, b \in W \\ a = a_{1} w_{1} + \dots + a_{m} w_{m} \\ b = b_{1} w_{1} + \dots + b_{m} w_{m} \\ G (a + b) \\ = G ((a_{1} w_{1} + \dots + a_{m} w_{m}) + (b_{1} w_{1} + \dots + b_{m} w_{m})) \\ = G ((a_{1} + b_{1}) w_{1} + \dots + (a_{m} + b_{m}) w_{m}) \\ = (a_{1} + b_{1}) v_{1} + \dots + (a_{n} + b_{n}) w_{n} \\ = a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n} + b_{1} v_{1} + \dots + b_{n} v_{n} \\ = G (a) + G (b) \\ G (c a) \\ = G (c (a_{1} w_{1} + \dots + a_{m} w_{m})) \\ = G ((c a_{1}) w_{1} + \dots + (c a_{m}) w_{m}) \\ = (c a_{1}) v_{1} + \dots + (c a_{n}) v_{n} \\ = c (a_{1} v_{1}) + \dots + c (a_{n} v_{n}) \\ = c (a_{1} v_{1} + \dots + a_{n} v_{n}) \\ = c G (a) \end{array}$
よって、Gは線型写像。

合成写像について。
$\begin{array}{l} v \in V \\ v = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} v_{n} \\ (G \circ F) (v) \\ = G (F (v)) \\ = G (x_{1} w_{1} + c + x_{n} w_{n}) \\ = x_{1} v_{1} + \dots + x_{n} w_{n} \\ = v \end{array}$
よって、合成写像は恒等写像である。
$G \circ F = I_{V}$
また、線型写像Fについて。
$\begin{array}{l} w_{n} \in W \\ F^{- 1} ({w_{n}}) = ϕ \end{array}$
よって、線型写像Fは前者ではないので、同型写像ではない。

以上より、dim V = dim W を仮定しない場合に前問の結論は成り立たない。(証明終)

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2017年10月27日金曜日

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