数学 - 解析学 - 集合論初歩 - 集合・論理・関係(全射な写像、冪集合、像と逆像による写像、全射と単射、命題)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(集合論初歩)、11.1(集合・論理・関係)、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   $\begin{array}{l}B\in \mathfrak{P}\left(Y\right)\\ f^{*}\left(B\right)\in \mathfrak{P}\left(X\right)\\ f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)\in \mathfrak{P}\left(Y\right)\\ f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)\subset B\end{array}$

   bを集合Bの任意の元とする。fは全射なので、ある集合Xの元xが存在して、f(x) = bが成り立つ。

   $\begin{array}{l}B\in \mathfrak{P}\left(Y\right)\\ f^{*}\left(B\right)\in \mathfrak{P}\left(X\right)\\ f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)\in \mathfrak{P}\left(Y\right)\\ f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)\subset B\\ \\ x\in f^{*}\left(B\right)\\ f\left(x\right)\in f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)\\ b\in f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)\\ B\subset f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)\\ \\ f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)=B\end{array}$

   像による写像について。

   $\begin{array}{l}B\in \mathfrak{P}\left(Y\right)\\ f_{*}\left(f^{*}\left(B\right)\right)=B\\ f^{*}\left(B\right)\in \mathfrak{P}\left(X\right)\end{array}$

   よって全射。

   逆像による写像について。

   $\begin{array}{l}{B}_1,B_2\in \mathfrak{P}\left(Y\right)\\ f^{*}\left(B_1\right)=f^{*}\left(B_2\right)\\ \Rightarrow f_{*}\left(f^{*}\left(B_1\right)\right)=f_{*}\left(f^{*}\left(B_2\right)\right)\\ \Rightarrow B_1=B_2\end{array}$

   よって単射。