数学 - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の像と核(有限次元のベクトル空間、合成写像、核、階数、不等式)

線型代数入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題10.を取り組んでみる。

10. 問題の仮定より。

    $\mathrm{Im}F\subset KerG$

    よって、その次数について。

    $\dim \left(\mathrm{Im}F\right)\le \dim \left(KerG\right)$

    また、線型写像Gの像、核、定義域Wの次元について、Wは有限次元なので定理3.19より次のことが成り立つ。

    $\dim \left(\mathrm{Im}G\right)+\dim \left(KerG\right)=\dim W$

    以上より、問題の階数、次元についての不等式が成り立つ。

    $\begin{array}{l}\dim \left(KerG\right)=\dim W-\dim \left(\mathrm{Im}G\right)\\ \dim \left(\mathrm{Im}F\right)\le \dim W-\dim \left(\mathrm{Im}G\right)\\ \dim \left(\mathrm{Im}F\right)+\dim \left(\mathrm{Im}G\right)\le \dim W\\ rankF+rankG\le \dim W\end{array}$