数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(集合族、和集合、共通部分、像と逆像、包含関係、等号)

集合・位相入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題4を取り組んでみる。

4. • (5.3)について。

     bを集合Bの任意の元とする。

     $\begin{array}{l}b\in f\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{P}_{\lambda }}\right)\\ \iff \exists a\in A\left[a\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{P}_{\lambda }}\wedge f\left(a\right)=b\right]\\ \iff \exists a\in A\exists \lambda \in \Lambda \left[a\in P_{\lambda }\wedge f\left(a\right)=b\right]\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[b\in f\left(P_{\lambda }\right)\right]\\ \iff b\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }f\left(P_{\lambda }\right)}\\ \\ f\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{P}_{\lambda }}\right)={\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }f\left(P_{\lambda }\right)}\end{array}$

   • (5.4)について。

     bを集合Bの任意の元とする。

     $\begin{array}{l}b\in f\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{P}_{\lambda }}\right)\\ \iff \exists a\in A\left[a\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{P}_{\lambda }}\wedge f\left(a\right)=b\right]\\ \iff \exists a\in A\forall \lambda \in \Lambda \left[a\in P_{\lambda }\wedge f\left(a\right)=b\right]\\ \Rightarrow \forall \lambda \in \Lambda \left[b\in f\left(P_{\lambda }\right)\right]\\ \iff b\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }f\left(P_{\lambda }\right)}\\ \\ f\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{P}_{\lambda }}\right)\subset {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }f\left(P_{\lambda }\right)}\end{array}$

   • (5.3)'について。

     aを集合Aの任意の元とする。

     $\begin{array}{l}a\in f^{-1}\left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{Q}_{\mu }}\right)\\ \iff f\left(a\right)\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{Q}_{\mu }}\\ \iff \exists \mu \in M\left[f\left(a\right)\in Q_{\mu }\right]\\ \iff \exists \mu \in M\left[a\in f^{-1}\left(Q_{\mu }\right)\right]\\ \iff a\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{f}^{-1}\left(Q_{\mu }\right)}\\ \\ f^{-1}\left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{Q}_{\mu }}\right)={\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{f}^{-1}\left(Q_{\mu }\right)}\end{array}$

   • (5.4)'について。

     aを集合Aの任意の元とする。

     $\begin{array}{l}a\in f^{-1}\left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{Q}_{\mu }}\right)\\ \iff f\left(a\right)\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{Q}_{\mu }}\\ \iff \forall \mu \in M\left[f\left(a\right)\in Q_{\mu }\right]\\ \iff \forall \mu \in M\left[a\in f^{-1}\left(Q_{\mu }\right)\right]\\ \iff a\in {\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{f}^{-1}\left(Q_{\mu }\right)}\\ \\ f^{-1}\left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{Q}_{\mu }}\right)={\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{f}^{-1}\left(Q_{\mu }\right)}\end{array}$