数学 - 集合論 - 集合算 - 直積と直和、融合和(ファイバー積の概念を集合系の場合に拡張、一般化、標準的な写像)

集合論入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
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• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.9(直積と直和、融合和)の練習問題14.を取り組んでみる。

14. 集合X、Y、BをそれぞれX = {0, 1}、Y = {2, 3}、B = {0, 1}とする。

    XとYの直和について。

    $\begin{array}{l}X\cap Y=\varphi \\ \left\{0,1,2,3\right\}\end{array}$

    f、gを写像とし以下のように定める。

    $\begin{array}{l}f:B\to X\\ f\left(0\right)=0\\ f\left(1\right)=1\\ \\ g:B\to Y\\ g\left(0\right)=2\\ g\left(1\right)=2\end{array}$

    問題の関係について。

    $\begin{array}{l}R=\left\{\left(\left(i\circ f\right)\left(0\right),\left(j\circ g\right)\left(0\right)\right),\left(\left(i\circ f\right)\left(1\right),\left(j\circ g\right)\left(1\right)\right)\right\}\\ =\left\{\left(i\left(f\left(0\right)\right),j\left(g\left(0\right)\right)\right),\left(i\left(f\left(1\right)\right),j\left(g\left(1\right)\right)\right)\right\}\\ =\left\{\left(i\left(0\right),j\left(2\right)\right),\left(i\left(1\right),j\left(1\right)\right)\right\}\\ =\left\{\left(0,2\right),\left(1,2\right)\right\}\\ =\left\{\left(0,2\right),\left(1,2\right)\right\}\end{array}$

    この関係によって生成される同値関係について。

    $R_{f,g}=\left\{\begin{array}{l}\left(0,0\right),\left(1,1\right),\left(2,2\right),\left(3,3\right),\\ \left(0,2\right),\left(2,0\right),\left(1,2\right),\left(2,1\right),\\ \left(0,1\right),\left(1,0\right)\end{array}\right\}$

    商集合について。

    $\begin{array}{l}Z=\left\{0,1,2,3\right\}/R_{f,g}\\ =\left\{\left\{0,1,2\right\},\left\{3\right\}\right\}\end{array}$

    標準的な写像を合成して得られる写像i'、j'について。

    $\begin{array}{l}i\text{'}\left(0\right)=\left\{0,1,2\right\}\\ i\text{'}\left(1\right)=\left\{0,1,2\right\}\\ \\ j\text{'}\left(2\right)=\left\{0,1,2\right\}\\ j\text{'}\left(3\right)=\left\{0,1,2\right\}\end{array}$

    よって、写像i'、j'は単射ではない。