数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(合成写像、恒等写像、全単射)

集合・位相入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題14を取り組んでみる。

14. 
    

    bを集合Bの任意の元とする。

    $\begin{array}{l}{I}_B\left(b\right)=b\\ \left(f\circ g\text{'}\right)\left(b\right)=b\\ f\left(g\text{'}\left(b\right)\right)=b\end{array}$

    よって、g'(b)は集合Aの元で、写像はfは全射である。

    a1、a2を集合Aの任意の元とする。

    f(a1) = f(a2)と仮定する。

    $\begin{array}{l}g\left(f\left(a_1\right)\right)=g\left(f\left(a_2\right)\right)\\ \left(g\circ f\right)\left(a_1\right)=\left(g\circ f\right)\left(a_2\right)\\ I_B\left(a_1\right)=I_B\left(a_2\right)\\ a_1=a_2\end{array}$

    よって、fは単射である。

    ゆえに、fは全単射である。

    bを集合Bの任意の元とする。

    fは全射なので、集合Aのある元aが存在して、f(a) = bが成り立つ。

    $\begin{array}{l}g\left(f\left(a\right)\right)=g\left(b\right)\\ \left(g\circ f\right)\left(a\right)=g\left(b\right)\\ I_A\left(a\right)=g\left(b\right)\\ a=g\left(b\right)\end{array}$

    また次のことが成り立つ。

    $\begin{array}{l}{I}_B\left(b\right)=b\\ \left(f\circ g\text{'}\right)\left(b\right)=b\\ f\left(g\text{'}\left(b\right)\right)=b\\ f\left(g\text{'}\left(b\right)\right)=f\left(a\right)\end{array}$

    fは単射なので、g'(b) = a。

    よって、g(b) = g'(b) なので、g = g'となる。

    aを集合Aの任意の元とする。

    $\begin{array}{l}\left(g\circ f\right)\left(a\right)\\ =I_A\left(a\right)\\ =a\end{array}$

    問題の等式が成り立つ。

    $f^{-1}=g=g\text{'}$