数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(有理数、複素数、体(加法、乗法、単位元、逆元))

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題8.を取り組んでみる。

8. x、yを問題の集合Kの任意の元とし、x = a + bi、y = c + di (a、b、c、dは有理数)とおく。

   和について。

   $\begin{array}{l}x+y\\ =\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i\\ a+c,b+d\in \mathbb{Q}\end{array}$

   よって、加法について 集合K は閉じている。

   積について。

   $\begin{array}{l}xy\\ =\left(a+bi\right)\left(c+di\right)\\ =\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i\\ ac-bd,ad+bc\in \mathbb{Q}\end{array}$

   よって、集合Kは乗法について閉じている。

   加法の単位元0について。

   $\begin{array}{l}0=0+0i\\ 0\in \mathbb{Q}\end{array}$

   よって、集合Kは0を含む。

   乗法の単位元1について。

   $\begin{array}{l}1=1+0i\\ 1,0\in \mathbb{Q}\end{array}$

   よって、集合Kは1を含む。

   加法の逆元について。

   $\begin{array}{l}x+\left(-a-bi\right)\\ =a+bi-a-bi\\ =0\\ -a,-b\in \mathbb{Q}\end{array}$

   よって、Kの任意の元に対してその加法の逆元が存在する。

   乗法の逆元について。

   $\begin{array}{l}x\ne 0\\ x^{-1}=\frac{1}{a+bi}\\ =\frac{a-bi}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}\\ =\frac{a-bi}{a^2+b^2}\\ =\frac{a}{a^2-b^2}-\frac{b}{a^2-b^2}i\\ \frac{a}{a^2-b^2},-\frac{b}{a^2-b^2}\in \mathbb{Q}\end{array}$

   よって、Kの任意の0ではない元の逆元はKの元である。

   以上より、a+bi(a、bは有理数)の形に書けるすべての数の集合は体である。