数学 - 線型代数 - 線型写像 - 線型写像の像と核(行列で定義される線型写像、像と核、階数と退化次数、基底)

線型代数入門

学習環境

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参考書籍

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題7.を取り組んでみる。

1. $\begin{array}{l} L (e_{i}) = a_{i} (i = 1, 2) \\ L (e_{1}) \\ = L ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})) \\ = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \\ L (e_{2}) \\ = L ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})) \\ = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \\ a_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \\ a_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \\ r a n k L = 2 \end{array}$
  Lの階数は2。
  $\begin{array}{l} L ((\begin{array}{l} x \\ y \end{array})) = 0 \\ (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = 0 \\ (\begin{matrix} x + y \\ x - y \\ y \end{matrix}) = 0 \\ x + y = 0 \\ x - y = 0 \\ y = 0 \\ x = y = 0 \\ n u l l i t y L = 0 \end{array}$
  Lの退化次数は0となる。
  
  Lの像、Im Lの基底。
  ${(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})}$
  Lの核、Ker L の基底。
  ${}$
2. $\begin{array}{l} L (e_{i}) = a_{i} (i = 1, 2, 3) \\ L (e_{1}) \\ = L ((\begin{matrix} 1 \\ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} \end{matrix})) \\ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \\ L (e_{2}) \\ = L ((\begin{matrix} 0 \\ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \end{matrix})) \\ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \\ L (e_{3}) \\ = L ((\begin{matrix} 0 \\ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix})) \\ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \\ a_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \\ a_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \\ a_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \\ Im L = 〈 a_{1}, a_{2} 〉 \\ r a n k L = 2 \end{array}$
  よってLの階数は2。
  $\begin{array}{l} L ((\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array})) = 0 \\ (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}) = 0 \\ (\begin{array}{l} x \\ 0 \\ y \end{array}) = 0 \\ x = 0, y = 0 \\ K e r L = 〈 (\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) 〉 \end{array}$
  よってLの退化次数は1。
  
  Lの像の基底。
  ${(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}$
  Lの核、Ker Lの基底。
  ${(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})}$
3. $\begin{array}{l} L (e_{i}) = a_{i} (i = 1, 2, 3) \\ a_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) \\ a_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix}) \\ a_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \\ a_{1} = a_{3} - \frac{1}{2} a_{2} \\ Im L = 〈 a_{2}, a_{3} 〉 \\ r a n k L = 2 \end{array}$
  よって、Lの階数は2。
  $\begin{array}{l} L ((\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array})) \\ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 2 & 0 \end{matrix}) (\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}) \\ = (\begin{matrix} x + z \\ x - 2 y \end{matrix}) \\ x + z = 0 \\ x - 2 y = 0 \\ z = - x \\ y = \frac{1}{2} x \\ K e r L = 〈 (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) 〉 \end{array}$
  よってLの退化次数は1。
  
  Lの像、Im Lの基底。
  ${(\begin{matrix} 0 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})}$
  Lの核、Ker Lの基底。
  ${(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})}$

Kamimura's blog

2017年10月28日土曜日

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