数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(有理数、実数、平方、体(加法、乗法、単位元、逆元))

ラング線形代数学(上)
原著

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  • Pythonからはじめる数学入門
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題9.を取り組んでみる。

9. x、yを問題のすべての数の集合の元とする。

   a、b、c、eを有理数とする。

   $\begin{array}{l}\gamma =\pm \sqrt{c}\\ x=a+b\gamma \\ y=d+e\gamma \end{array}$

   和について。

   $\begin{array}{l}x+y\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\gamma \end{array}$

   a + b、d + eは有理数なので、加法について閉じてる。

   積について。

   $\begin{array}{l}xy\\ =ad+be{\gamma }^2+\left(ae+bd\right)\gamma \\ =\left(ad+bec\right)+\left(ae+bd\right)\gamma \end{array}$

   ad + bec、ae + bd は有理数なので、乗法について閉じてる。

   加法の単位元0について。

   $0=0+0\gamma$

   情報の単位元1について。

   $1=1+0\gamma$

   加法の逆元について。

   $-x=-a-b\gamma$

   -a、-bは有理数である。

   乗法の逆元について。

   $\begin{array}{l}x\ne 0\\ a=b\gamma \\ x=a+a=2a\\ x^{-1}=\frac{1}{2a}=\frac{1}{2a}+0\gamma \\ \frac{1}{2a},0\in \mathbb{Q}\\ a\ne b\gamma \\ x^{-1}=\frac{1}{a+b\gamma }\\ =\frac{a-b\gamma }{\left(a+b\gamma \right)\left(a-b\gamma \right)}\\ =\frac{a-b\gamma }{a^2-b^2{\gamma }^2}\\ =\frac{a-b\gamma }{a^2-b^{2}c}\\ =\frac{a}{a^2-b^{2}c}-\frac{b}{a^2-b^{2}c}\gamma \\ \frac{a}{a^2-b^{2}c},-\frac{b}{a^2-b^{2}c}\in \mathbb{Q}\end{array}$

   以上より、問題のすべての数の集合は体である。