数学 - 線型代数 - 線型写像 - 同型写像(合成写像、恒等写像、全単射、正則な線型変換(自己同型)、逆写像(左逆写像、右逆写像))

線型代数入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、5(同型写像)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   v1、v2をベクトル空間Vの任意の元とする。

   F(v1) = F(v2)と仮定すると、G(F(v1)) = G(F(v2))、すなわち (G∘F)(v1) = (G∘F)(v2)となる。

   また、G∘FはVからVへの恒等写像、すなわち単射なので、v1 = v2 となる。

   よって、Fは単射。

   wをベクトル空間Wの任意の元とする。

   G'(w) = vとおくと、F(G'(w)) = F(v)、すなわち(F∘G')(w) = F(v)となる。

   また、F∘G'はWからWへの恒等写像で(F∘G')(w) = wとなるので、w = F(v)となる。

   よってFは全射。

   以上より、Fは全単射。

   よって、FはVからWへの同型写像。

   vをベクトル空間Vの元とする。

   F(v) = wとおく。

   G(F(v)) = G(w)、(G∘F)(v) = G(w)、v = G(w)となる。

   よって、GはFの逆写像に等しい。

   wをベクトル空間Wの元とする。

   $\begin{array}{l}G\text{'}\left(w\right)=v\\ F\left(G\text{'}\left(w\right)\right)=F\left(v\right)\\ w=F\left(v\right)\\ F^{-1}\left(w\right)=v\\ F^{-1}=G\text{'}\end{array}$

   よって、G'はFの逆写像に等しい。