数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 – 定義(有理数、無理数、体(和、積、逆元、単位元))

ラング線形代数学(上)
原著

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題7.を取り組んでみる。

7. x、yを次のように定める。

   $\begin{array}{l}a,b,c,d\in \mathbb{Q}\\ x=a+b\sqrt{2}\\ y=c+d\sqrt{2}\end{array}$

   和について。

   $\begin{array}{l}a,b,c,d\in \mathbb{Q}\\ x=a+b\sqrt{2}\\ y=c+d\sqrt{2}\\ \\ x+y\\ =a+b\sqrt{2}+c+d\sqrt{2}\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\sqrt{2}\\ \\ a+c,b+d\in \mathbb{Q}\end{array}$

   よって、和について閉じている。

   積について。

   $\begin{array}{l}xy\\ =\left(a+b\sqrt{2}\right)\left(c+d\sqrt{2}\right)\\ =\left(ac+2bd\right)+\left(ad+bc\right)\sqrt{2}\\ ac+2bd,ad+bc\in \mathbb{Q}\end{array}$

   よって積について閉じている。

   和の逆元について。

   $\begin{array}{l}-x=-\left(a+b\sqrt{2}\right)\\ =-a-b\sqrt{2}\\ -a,-b\in \mathbb{Q}\end{array}$

   積の逆元について。

   $\begin{array}{l}x\ne 0\\ x^{-1}=\frac{1}{a+b\sqrt{2}}\\ =\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}\\ =\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\\ \frac{a}{a^2-2b^2},-\frac{b}{a^2-2b^2}\in \mathbb{Q}\end{array}$

   和の単位元0について。

   $\begin{array}{l}0=0+0\sqrt{2}\\ 0\in \mathbb{Q}\end{array}$

   積の単位元1について。

   $\begin{array}{l}1=1+0\sqrt{2}\\ 1,0\in \mathbb{Q}\end{array}$