数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(順列、階乗、組み合わせ、集合論的考察、冪集合、集合系、全単射)

集合・位相入門

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題18を取り組んでみる。

18. • Aをm個の元からなる有限集合とする。

      B0をBのm個の元からなる部分集合とする。

      AからB0への単射の総数は(m)m = m!個。

      Bのm個の元からなる集合の総数はnCmなので、AからBへの単射の総数。

      ${\left(n\right)}_m=nPm=m!{\left(n\right)}_m=m!nCm$

      よって次のことが成り立つ。

      $\begin{array}{l}{\left(n\right)}_m=nPm=m!{\left(n\right)}_m=m!nCm\\ \\ nCm=\frac{{\left(n\right)}_m}{m!}\\ \left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)=\frac{nPm}{m!}\\ =\frac{n\left(n-1\right)\cdots \left(n-m+1\right)}{m!}\\ =\frac{n!}{\left(n-1\right)!m!}\end{array}$

    • • 左辺は、Bのすべての部分集合の個数、集合Bの冪集合の個数。

        ${\displaystyle \sum _{i=1}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)=2^n}$

      • 左辺はBの偶数の個数の元から成るすべての部分集合の個数から、Bの奇数の個数の元から成るすべての部分集合の個数を引いた結果となる。

        bをBの1つの元とする。

        任意のBの偶数の個数の元から成る部分集合B0に対し、B0がb0を含むならBの奇数個の元からなるの部分集合B0-{b0}、B0がb0を含まないならB0 ∪ {b0}を対応させる写像を考える

        この写像fは全単射なので、Bの偶数の個数の元から成るすべての部分集合の個数は、Bの奇数の個数の元から成るすべての部分集合の個数と等しい。

        よって、左辺はBの偶数の個数の元から成るすべての部分集合の個数から、Bの奇数の個数の元から成るすべての部分集合の個数を引いた結果は0にになる。

        以上により、問題の等式は成り立つ。

    (集合論的考察終)