数学 - 統計学 - 正規分布を使うii - 正規分布を超えて(二項分布と正規分布、確率、比較、近似、注意点)

学習環境

Head First Statistics (Dawn Griffiths (著)、黒川利明 (翻訳)、木下哲也 (翻訳)、黒川洋 (翻訳)、黒川めぐみ (翻訳)、オライリージャパン)の9章(正規分布を使うii - 正規分布を超えて)、長いエクササイズ(p. 391)を取り組んでみる。

長いエクササイズ(p. 391)

$\begin{array}{l} P (X < 6) \\ = \sum_{r = 0}^{5} (\begin{matrix} 12 \\ r \end{matrix}) {(\frac{1}{2})}^{r} {(\frac{1}{2})}^{12 - r} \\ = \sum_{r = 0}^{5} (\begin{matrix} 12 \\ r \end{matrix}) {(\frac{1}{2})}^{12} \\ = \frac{1}{2^{12}} \sum_{r = 0}^{5} (\begin{matrix} 12 \\ r \end{matrix}) \\ = \frac{1}{2^{12}} (1 + 12 + \frac{12!}{(12 - 2)! 2!} + \frac{12!}{(12 - 3)! 3!} + \frac{12!}{(12 - 4)! 4!} + \frac{12!}{(12 - 5)! 5!}) \\ = \frac{1}{2^{12}} (13 + \frac{12 \cdot 11}{2} + \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2} + \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2} + \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}) \\ = \frac{1}{2^{12}} (13 + 66 + 220 + 495 + 792) \\ = \frac{66 + 220 + 792 + 508}{2^{12}} \\ = \frac{33 + 110 + 396 + 254}{2^{11}} \\ = \frac{793}{2048} \\ \approx 0.3872 \end{array}$
平均、分散について。N(12 × 0.5, 12 × 0.5 × 0.5) = N(6, 3)

標準得点。
$z = \frac{6 - 6}{\sqrt{3}} = 0$
求める確率: P(X < 6) = 0.5

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