数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 同型写像(3乗の級数、無限次元のベクトル空間、無限数列全体が作るR上のベクトル空間、自己同型、逆変換)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、5(同型写像)、問題３.を取り組んでみる。

3. 
   $\begin{array}{l}{\sigma }_1=\left(0,1,2,\cdots ,n,\cdots \right)\\ {\sigma }_2=\left(0,1,4,\cdots ,n^2,\cdots \right)\\ {\sigma }_3=\left(0,1,8,\cdots ,n^3,\cdots \right)\\ {\sigma }_4=\left(0,1,16,\cdots ,n^4,\cdots \right)\\ \\ T\left({\sigma }_1\right)=\alpha \\ T\left({\sigma }_2\right)=\beta \\ T\left({\sigma }_3\right)=\gamma \\ T\left({\sigma }_4\right)=\delta \\ \\ \alpha ={\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\\ \beta ={\left(b_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\\ \gamma ={\left(c_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\\ \delta ={\left(d_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\\ \\ n\ge 1\\ a_n=n-\left(n-1\right)=1\\ b_n=n^2-{\left(n-1\right)}^2=2n-1\\ c_n=n^3-{\left(n-1\right)}^3=3n^2-3n+1\\ d_n=n^4-{\left(n-1\right)}^4=4n^3-6n^2+4n-1\end{array}$

   p、q、r、sを定数とする。

   $\begin{array}{l}{\sigma }_1=\left(0,1,2,\cdots ,n,\cdots \right)\\ {\sigma }_2=\left(0,1,4,\cdots ,n^2,\cdots \right)\\ {\sigma }_3=\left(0,1,8,\cdots ,n^3,\cdots \right)\\ {\sigma }_4=\left(0,1,16,\cdots ,n^4,\cdots \right)\\ \\ T\left({\sigma }_1\right)=\alpha \\ T\left({\sigma }_2\right)=\beta \\ T\left({\sigma }_3\right)=\gamma \\ T\left({\sigma }_4\right)=\delta \\ \\ \alpha ={\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\\ \beta ={\left(b_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\\ \gamma ={\left(c_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\\ \delta ={\left(d_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\\ \\ n\ge 1\\ a_n=n-\left(n-1\right)=1\\ b_n=n^2-{\left(n-1\right)}^2=2n-1\\ c_n=n^3-{\left(n-1\right)}^3=3n^2-3n+1\\ d_n=n^4-{\left(n-1\right)}^4=4n^3-6n^2+4n-1\\ \\ T\left(p{\sigma }_1+q{\sigma }_2+r{\sigma }_3+s{\sigma }_4\right)\\ =p\alpha +q\beta +r\gamma +s\delta \\ p\alpha +q\beta +r\gamma +s\delta =\zeta \\ \zeta =\left(e_n\right)\\ \\ e_n=p{a}_n+q{b}_n+r{c}_n+s{d}_n\\ =p+q\left(2n-1\right)+r\left(3n^2-3n+1\right)+s\left(4n^3-6n^2+4n-1\right)\\ =4s{n}^3+\left(3r-6s\right)n^2+\left(2q-3r+4s\right)n+\left(p-q+r-s\right)\\ \\ e_n=n^3\\ \\ 4s=1\\ 3r-6s=0\\ 2q-3r+4s=0\\ p-q+r-s=0\\ \\ s=\frac{1}{4}\\ r=2s=\frac{1}{2}\\ q=\frac{3}{2}r-2s=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\\ p=q-r+s=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=0\\ \\ T\left(0{\sigma }_1+\frac{1}{4}{\sigma }_2+\frac{1}{2}{\sigma }_3+\frac{1}{4}{\sigma }_4\right)=\zeta \\ T\left(\frac{1}{4}{\sigma }_2+\frac{1}{2}{\sigma }_3+\frac{1}{4}{\sigma }_4\right)=\zeta \\ \zeta =\left(n^3\right)\\ \\ S\left(\zeta \right)=\frac{1}{4}{\sigma }_2+\frac{1}{2}{\sigma }_3+\frac{1}{4}{\sigma }_4\\ \\ \frac{1}{4}{\sigma }_2+\frac{1}{2}{\sigma }_3+\frac{1}{4}{\sigma }_4=\sigma \\ \sigma =\left(s_n\right)\\ \\ s_n=\frac{1}{4}{n}^2+\frac{1}{2}{n}^3+\frac{1}{4}{n}^4\\ =\frac{n^2\left(1+2n+n^2\right)}{4}\\ =\frac{n^2\left(n^2+2n+1\right)}{4}\\ =\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4}\\ ={\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2\end{array}$

   よって、次のことが成り立つ。

   ${\displaystyle \sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)}^2}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, summation

k, n = symbols('k n', integer=True)
s = summation(k ** 3, (k, 1, n))
pprint(s.factor())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
 2        2
n ⋅(n + 1) 
───────────
     4     
$