数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 同型写像(3乗の級数、無限次元のベクトル空間、無限数列全体が作るR上のベクトル空間、自己同型、逆変換)

学習環境

Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプカバー、Surface ペン(端末)
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数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
参考書籍

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、5(同型写像)、問題３.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} σ_{1} = (0, 1, 2, \dots, n, \dots) \\ σ_{2} = (0, 1, 4, \dots, n^{2}, \dots) \\ σ_{3} = (0, 1, 8, \dots, n^{3}, \dots) \\ σ_{4} = (0, 1, 16, \dots, n^{4}, \dots) \\ T (σ_{1}) = α \\ T (σ_{2}) = β \\ T (σ_{3}) = γ \\ T (σ_{4}) = δ \\ α = {(a_{n})}_{n \in ℕ} \\ β = {(b_{n})}_{n \in ℕ} \\ γ = {(c_{n})}_{n \in ℕ} \\ δ = {(d_{n})}_{n \in ℕ} \\ n \geq 1 \\ a_{n} = n - (n - 1) = 1 \\ b_{n} = n^{2} - {(n - 1)}^{2} = 2 n - 1 \\ c_{n} = n^{3} - {(n - 1)}^{3} = 3 n^{2} - 3 n + 1 \\ d_{n} = n^{4} - {(n - 1)}^{4} = 4 n^{3} - 6 n^{2} + 4 n - 1 \end{array}$
p、q、r、sを定数とする。
$\begin{array}{l} σ_{1} = (0, 1, 2, \dots, n, \dots) \\ σ_{2} = (0, 1, 4, \dots, n^{2}, \dots) \\ σ_{3} = (0, 1, 8, \dots, n^{3}, \dots) \\ σ_{4} = (0, 1, 16, \dots, n^{4}, \dots) \\ T (σ_{1}) = α \\ T (σ_{2}) = β \\ T (σ_{3}) = γ \\ T (σ_{4}) = δ \\ α = {(a_{n})}_{n \in ℕ} \\ β = {(b_{n})}_{n \in ℕ} \\ γ = {(c_{n})}_{n \in ℕ} \\ δ = {(d_{n})}_{n \in ℕ} \\ n \geq 1 \\ a_{n} = n - (n - 1) = 1 \\ b_{n} = n^{2} - {(n - 1)}^{2} = 2 n - 1 \\ c_{n} = n^{3} - {(n - 1)}^{3} = 3 n^{2} - 3 n + 1 \\ d_{n} = n^{4} - {(n - 1)}^{4} = 4 n^{3} - 6 n^{2} + 4 n - 1 \\ T (p σ_{1} + q σ_{2} + r σ_{3} + s σ_{4}) \\ = p α + q β + r γ + s δ \\ p α + q β + r γ + s δ = ζ \\ ζ = (e_{n}) \\ e_{n} = p a_{n} + q b_{n} + r c_{n} + s d_{n} \\ = p + q (2 n - 1) + r (3 n^{2} - 3 n + 1) + s (4 n^{3} - 6 n^{2} + 4 n - 1) \\ = 4 s n^{3} + (3 r - 6 s) n^{2} + (2 q - 3 r + 4 s) n + (p - q + r - s) \\ e_{n} = n^{3} \\ 4 s = 1 \\ 3 r - 6 s = 0 \\ 2 q - 3 r + 4 s = 0 \\ p - q + r - s = 0 \\ s = \frac{1}{4} \\ r = 2 s = \frac{1}{2} \\ q = \frac{3}{2} r - 2 s = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \\ p = q - r + s = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 0 \\ T (0 σ_{1} + \frac{1}{4} σ_{2} + \frac{1}{2} σ_{3} + \frac{1}{4} σ_{4}) = ζ \\ T (\frac{1}{4} σ_{2} + \frac{1}{2} σ_{3} + \frac{1}{4} σ_{4}) = ζ \\ ζ = (n^{3}) \\ S (ζ) = \frac{1}{4} σ_{2} + \frac{1}{2} σ_{3} + \frac{1}{4} σ_{4} \\ \frac{1}{4} σ_{2} + \frac{1}{2} σ_{3} + \frac{1}{4} σ_{4} = σ \\ σ = (s_{n}) \\ s_{n} = \frac{1}{4} n^{2} + \frac{1}{2} n^{3} + \frac{1}{4} n^{4} \\ = \frac{n^{2} (1 + 2 n + n^{2})}{4} \\ = \frac{n^{2} (n^{2} + 2 n + 1)}{4} \\ = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4} \\ = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} \end{array}$
よって、次のことが成り立つ。
$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, summation

k, n = symbols('k n', integer=True)
s = summation(k ** 3, (k, 1, n))
pprint(s.factor())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
 2        2
n ⋅(n + 1) 
───────────
     4     
$

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2017年10月3日火曜日

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