学習環境
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- 参考書籍
これってどうやって計算すればいいんですかね？ pic.twitter.com/aPyFWPfEzq
— たけのこ赤軍@MATHPOWERプレゼン (@691_7758337633) 2017年10月29日
実軸を左から右にある長さ進んで原点中心の半円を描きながら戻ってくる積分路を考えるパターンの気がする
— マルクアライ (@marx_saul) 2017年10月29日
t>0にしておいてください
— たけのこ赤軍@MATHPOWERプレゼン (@691_7758337633) 2017年10月29日
答えが分かった上で考えたら計算方法が見えてくるかもしれないので、SymPy(🐍 Python)で答えだけ計算してみた。
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral, oo, pi, I, exp
x, y = symbols('x y', real=True)
t = symbols('t', positive=True)
fx = x ** (-t) * exp(-2 * pi * I * x * y)
Fty = Integral(fx, (x, -oo, oo))
for t in [Fty, Fty.doit()]:
pprint(t)
print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample.py
∞
⌠
⎮ -t -2⋅ⅈ⋅π⋅x⋅y
⎮ x ⋅ℯ dx
⌡
-∞
⎧ t
⎪ ⎛ ⅈ⋅π ⎞ ⎛ -ⅈ⋅π ⎞
⎪ ⎜ ─── ⎟ ⎜ ───── ⎟
⎪ ⎜ 2 ⎟ -t ⎜ 2 ⎟
⎪ ⅈ⋅⎝2⋅π⋅ℯ ⋅polar_lift(y)⎠ ⋅Γ(-t + 1) (-1) ⋅ⅈ⋅⎝2⋅π⋅ℯ ⋅polar_lift(y)⎠
⎪- ───────────────────────────────────── + ───────────────────────────────────
⎪ 2⋅π⋅y 2⋅π⋅y
⎨
⎪ ∞
⎪ ⌠
⎪ ⎮ -t -2⋅ⅈ⋅π⋅x⋅y
⎪ ⎮ x ⋅ℯ dx
⎪ ⌡
⎪ -∞
⎩
t
⎛⎛│ ⎛ -ⅈ⋅π ⎞│ ⎞
⎜⎜│ ⎜ ───── ⎟│ ⎟
⋅Γ(-t + 1) ⎜⎜│ ⎜ 2 ⎟│ π ⎟
─────────── for ⎜⎜│periodic_argument⎝ℯ ⋅polar_lift(y), ∞⎠│ = ─ ∧ t < 1⎟ ∨
⎝⎝ 2 ⎠
⎛ │ ⎛ -ⅈ⋅π ⎞│ ⎞⎞ ⎛⎛│
⎜ │ ⎜ ───── ⎟│ ⎟⎟ ⎜⎜│
⎜ │ ⎜ 2 ⎟│ π⎟⎟ ⎜⎜│
⎜t < 1 ∧ │periodic_argument⎝ℯ ⋅polar_lift(y), ∞⎠│ < ─⎟⎟ ∧ ⎜⎜│periodic_arg
⎝ 2⎠⎠ ⎝⎝
otherwise
⎛ ⅈ⋅π ⎞│ ⎞ ⎛ │ ⎛ ⅈ⋅π
⎜ ─── ⎟│ ⎟ ⎜ │ ⎜ ───
⎜ 2 ⎟│ π ⎟ ⎜ │ ⎜ 2
ument⎝ℯ ⋅polar_lift(y), ∞⎠│ = ─ ∧ t < 1⎟ ∨ ⎜t < 1 ∧ │periodic_argument⎝ℯ ⋅
2 ⎠ ⎝
⎞│ ⎞⎞
⎟│ ⎟⎟
⎟│ π⎟⎟
polar_lift(y), ∞⎠│ < ─⎟⎟
2⎠⎠
$
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