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金曜日は『数学ガールの秘密ノート』の日。最新回は一週間無料で読めます。公式RTしてから読みにいってね！
— 結城浩 (@hyuki) 2017年10月5日
「関数を手がかりに」第5章 第210回 逆転インバース（後編）https://t.co/j4ZHFa8CTY
逆転インバース（前編）｜数学ガールの秘密ノートの分数関数の微分を《暗記テスト》でも《思考テスト》でもなく《定義テスト》で考えてみたように、第210回 逆転インバース（後編）｜数学ガールの秘密ノート｜結城浩に出てくる合成関数の微分と逆関数の微分も同様に考えてみる。
定義テストで考えてみた理由は、関数の微分、導関数を求めるのに累乗(べき乗)、三角関数、指数関数・対数関数等のいろいろ簡単な公式を使用して計算を多くしているうちに、元々の定義を忘れがちになる場合があるかなぁと思ったから。
テイラー展開とか計算してるうちにいつの間にか、微分がグラフの点における接線の傾き、ニュートン商の極限(素朴な定義？)であることを忘れてしまう人が多いとか？(ということで、時には接線の集まりを書くようにしてたりします。https://t.co/TEamfDBcx9 )
— kamimura (@mkamimura) 2017年6月10日
ということで、早速定義に立ち返って合成関数の微分、逆関数の微分、導関数を求めてみる。
合成関数の微分法について。
逆関数の微分法について。
SymPy(Python)の極限(Limit関数)と微分(Derivative関数)で確認。
コード(Emacs)
Python 3
#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Function, Derivative, Limit
print('合成関数の微分法')
f = Function('f')
g = Function('g')
x, h = symbols('x h')
for dir in ['+', '-']:
l = Limit((f(g(x + h)) - f(g(x))) / h, h, 0, dir=dir)
for t in [l, l.doit()]:
pprint(t)
print()
print()
gf = g(f(x))
Dx = Derivative(gf, x, 1)
for t in [Dx, Dx.doit()]:
pprint(t)
print()
入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))
$ ./sample.py
合成関数の微分法
⎛-f(g(x)) + f(g(h + x))⎞
lim ⎜──────────────────────⎟
h─→0⁺⎝ h ⎠
⎛ d ⎞│ ⎛ d ⎞│
⎜───(f(ξ₁))⎟│ ⋅⎜───(g(ξ₁))⎟│
⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=g(x) ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=x
⎛-f(g(x)) + f(g(h + x))⎞
lim ⎜──────────────────────⎟
h─→0⁻⎝ h ⎠
⎛ d ⎞│ ⎛ d ⎞│
⎜───(f(ξ₁))⎟│ ⋅⎜───(g(ξ₁))⎟│
⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=g(x) ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=x
d
──(g(f(x)))
dx
d ⎛ d ⎞│
──(f(x))⋅⎜───(g(ξ₁))⎟│
dx ⎝dξ₁ ⎠│ξ₁=f(x)
$
指数関数とその逆関数である対数関数、そしてそれぞれの導関数を利用して求めた各点の接線を描画してみる。
HTML5
<div id="graph0"></div> <pre id="output0"></pre> <label for="r0">r = </label> <input id="r0" type="number" min="0" value="0.5"> <label for="dx">dx = </label> <input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001"> <br> <label for="x1">x1 = </label> <input id="x1" type="number" value="-5"> <label for="x2">x2 = </label> <input id="x2" type="number" value="5"> <br> <label for="y1">y1 = </label> <input id="y1" type="number" value="-5"> <label for="y2">y2 = </label> <input id="y2" type="number" value="5"> <br> <label for="dx0">dx0 = </label> <input id="dx0" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.1"> <button id="draw0">draw</button> <button id="clear0">clear</button> <script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script> <script src="sample30.js"></script>
JavaScript
let div0 = document.querySelector('#graph0'),
pre0 = document.querySelector('#output0'),
width = 600,
height = 600,
padding = 50,
btn0 = document.querySelector('#draw0'),
btn1 = document.querySelector('#clear0'),
input_r = document.querySelector('#r0'),
input_dx = document.querySelector('#dx'),
input_x1 = document.querySelector('#x1'),
input_x2 = document.querySelector('#x2'),
input_y1 = document.querySelector('#y1'),
input_y2 = document.querySelector('#y2'),
input_dx0 = document.querySelector('#dx0'),
inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
input_dx0],
p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
range = (start, end, step=1) => {
let res = [];
for (let i = start; i < end; i += step) {
res.push(i);
}
return res;
};
let f = (x) => Math.exp(x),
f1 = (x) => Math.exp(x),
g = (x) => Math.log(x),
g1 = (x) => 1 / f1(g(x)),
h1 = (x0) => (x) => f1(x0) * (x - x0) + f(x0),
h2 = (x0) => (x) => g1(x0) * (x - x0) + g(x0);
let draw = () => {
pre0.textContent = '';
let r = parseFloat(input_r.value),
dx = parseFloat(input_dx.value),
x1 = parseFloat(input_x1.value),
x2 = parseFloat(input_x2.value),
y1 = parseFloat(input_y1.value),
y2 = parseFloat(input_y2.value),
dx0 = parseFloat(input_dx0.value);
if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
return;
}
let points = [],
lines = [],
fns = [[f, 'green'],
[g, 'blue']],
fns1 = [[(x) => x, 'red']],
fns2 = [[h1, 'orange'],
[h2, 'brown']];
fns
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
let y = f(x);
points.push([x, y, color]);
}
});
fns1
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
});
fns2
.forEach((o) => {
let [f, color] = o;
for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
let g = f(x);
lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
}
});
let xscale = d3.scaleLinear()
.domain([x1, x2])
.range([padding, width - padding]);
let yscale = d3.scaleLinear()
.domain([y1, y2])
.range([height - padding, padding]);
let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
div0.innerHTML = '';
let svg = d3.select('#graph0')
.append('svg')
.attr('width', width)
.attr('height', height);
svg.selectAll('line')
.data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
.enter()
.append('line')
.attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
.attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
.attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
.attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
.attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
svg.selectAll('circle')
.data(points)
.enter()
.append('circle')
.attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
.attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
.attr('r', r)
.attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
.call(xaxis);
svg.append('g')
.attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
.call(yaxis);
[fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};
inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();
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