数学 - Python - 面積、体積、長さ - 積分法の応用 – 体積 - 体積の公式(半円、垂直)

数学読本〈5〉

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈5〉微分法の応用/積分法/積分法の応用/行列と行列式(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第20章(面積、体積、長さ - 積分法の応用)、20.2(体積)、体積の公式、問17.を取り組んでみる。

17. 
    

    ABの中点を原点、点A(-a, 0)、点B(a, 0)、P(x, 0)とする。

    $PQ=QR=\sqrt{a^2-x^2}$

    △PQRの面積。

    $\begin{array}{l}S=\frac{1}{2}PQ·PR\\ =\frac{1}{2}\left(a^2-x^2\right)\end{array}$

    求める体積。

    $\begin{array}{l}V={\displaystyle {\int }_{-a}^a\left(\frac{1}{2}\left(a^2-x^2\right)\right)dx}\\ =2{\displaystyle {\int }_0^a\left(\frac{1}{2}\left(a^2-x^2\right)\right)dx}\\ ={\displaystyle {\int }_0^a\left(a^2-x^2\right)dx}\\ ={\left[a^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^a\\ =a^3-\frac{1}{3}{a}^3\\ =\frac{2}{3}{a}^3\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Integral, Rational

print('17.')
x, a = symbols('x a')
f = Rational(1, 2) * (a ** 2 - x ** 2)
I = Integral(f, (x, -a, a))

for t in [I, I.doit()]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample17.py
17.
a              
⌠              
⎮  ⎛ 2    2⎞   
⎮  ⎜a    x ⎟   
⎮  ⎜── - ──⎟ dx
⎮  ⎝2    2 ⎠   
⌡              
-a             

   3
2⋅a 
────
 3  

$